发布时间 : 星期六 文章中考第一轮复习第12讲《二次函数》专题训练含答案更新完毕开始阅读
第12讲 二次函数
命题趋势 二次函数是中考的重点内1．理解二次函数的有关概念． 容，题型主要有选择题、填空2．会用描点法画二次函数的图象，能从图象上认题及解答题，而且常与方程、识二次函数的性质． 不等式、几何知识等结合在一3．会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口起综合考查，且一般为压轴方向和对称轴，并会求解二次函数的最值问题． 题．中考命题不仅考查二次函4．熟练掌握二次函数解析式的求法，并能用它解数的概念、图象和性质等基础决有关的实际问题． 知识，而且注重多个知识点的5．会用二次函数的图象求一元二次方程的近似解. 综合考查以及对学生应用二次函数解决实际问题能力的考查. 考纲要求
知识梳理
一、二次函数的概念
一般地，形如y＝______________(a，b，c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数． 二次函数的两种形式：
(1)一般形式：____________________________；
(2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，其中二次函数的顶点坐标是________． 二、二次函数的图象及性质
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 图象 开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性 最值 (a＞0) (a＜0) 开口向上 开口向下 bb直线x＝－ 直线x＝－ 2a2a22?－b，4ac－b? ?－b，4ac－b? 4a?4a??2a?2abb当x＜－时，y随x当x＜－时，y随x2a2a的增大而减小；当x的增大而增大；当xbb＞－时，y随x的＞－时，y随x的增2a2a增大而增大 大而减小 bb当x＝－时，y有最当x＝－时，y有最2a2a24ac－b4ac－b2______值 ______值 4a4a三、二次函数图象的特征与a，b，c及b2－4ac的符号之间的关系 第 1 页 共 13 页
四、二次函数图象的平移
抛物线y＝ax2与y＝a(x－h)2，y＝ax2＋k，y＝a(x－h)2＋k中|a|相同，则图象的________和大小都相同，只是位置不同．它们之间的平移关系如下：
五、二次函数关系式的确定
1．设一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
若已知条件是图象上三个点的坐标，则设一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，将已知条件代入，求出a，b，c的值．
2．设交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标，则设交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，将第三点的坐标或其他已知条件代入，求出待定系数a，最后将关系式化为一般式．
3．设顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)．
若已知二次函数的顶点坐标或对称轴方程与最大值或最小值，则设顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，将已知条件代入，求出待定系数化为一般式．
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六、二次函数与一元二次方程的关系
1．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当y＝0时，就变成了ax2＋bx＋c＝0(a≠0)． 2．ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解是抛物线与x轴交点的________．
3．当Δ＝b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有两个不同的交点；当Δ＝b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有一个交点；当Δ＝b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
4．设抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴两交点坐标分别为A(x1,0)，B(x2,0)，则x1＋x2＝________，x1·x2＝________.
自主测试
1．下列二次函数中，图象以直线x＝2为对称轴，且经过点(0,1)的是( ) A．y＝(x－2)2＋1 B．y＝(x＋2)2＋1 C．y＝(x－2)2－3 D．y＝(x＋2)2－3
2．如图所示的二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象中，刘星同学观察得出了下面四个结论：(1)b2－4ac＞0；(2)c＞1；(3)2a－b＜0；(4)a＋b＋c＜0.你认为其中错误的有( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．1个
3．当m＝__________时，函数y＝(m－3)xm2－7＋4是二次函数．
4．将抛物线y＝x2的图象向上平移1个单位，则平移后的抛物线的解析式为__________． 5．写出一个开口向下的二次函数的表达式：__________________________.
考点一、二次函数的图象及性质
【例1】(1)二次函数y＝－3x2－6x＋5的图象的顶点坐标是( ) A．(－1,8) B．(1,8) C．(－1,2) D．(1，－4)
(2)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的对称轴为直线x＝1，且经过点(－1，y1)，(2，y2)，试比较y1和y2的大小：y1________y2.(填“＞”“＜”或“＝”)
解析：(1)抛物线的顶点坐标可以利用顶点坐标公式或配方法来求．∵－1，
4ac－b24×?－3?×5－?－6?2
＝＝8， 4a4×?－3?
∴二次函数y＝－3x2－6x＋5的图象的顶点坐标是(－1,8)．故选A.
(2)点(－1，y1)，(2，y2)不在对称轴的同一侧，不能直接利用二次函数的增减性来判断y1，y2的大小，可先根据抛物线关于对称轴的对称性，然后再用二次函数的增减性即可．设抛物线经过点(0，y3)，∵抛物线对称轴为直线x＝1，
∴点(0，y3)与点(2，y2)关于直线x＝1对称．∴y3＝y2. ∵a＞0，∴当x＜1时，y随x的增大而减小． ∴y1＞y3.∴y1＞y2. 答案：(1)A (2)＞
方法总结 1．将抛物线解析式写成y＝a(x－h)2＋k的形式，则顶点坐标为(h，k)，对称轴
－6b
＝－＝－2a2×?－3?
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b?b4ac－b2?
为直线x＝h，也可应用对称轴公式x＝－，顶点坐标?－，?来求对称轴及顶点坐2a4a??2a标．
2．比较两个二次函数值大小的方法： (1)直接代入自变量求值法；
(2)当自变量在对称轴两侧时，看两个数到对称轴的距离及函数值的增减性判断； (3)当自变量在对称轴同侧时，根据函数值的增减性判断．
触类旁通1 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图，则下列结论中正确的是( )
A．a＞0
B．当x＞1时，y随x的增大而增大 C．c＜0
D．3是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根
考点二、利用二次函数图象判断a，b，c的符号 【例2】如图，是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的一部分，给出下列命题：①a＋b＋c＝0；②b＞2a；③ax2＋bx＋c＝0的两根分别为－3和1；④a－2b＋c＞0.其中正确的命题是__________．(只要求填写正确命题的序号)
b
解析：由图象可知过(1,0)，代入得到a＋b＋c＝0；根据－＝－1，推出b＝2a；根据图象
2a关于对称轴对称，得出与x轴的交点是(－3,0)，(1,0)；由a－2b＋c＝a－2b－a－b＝－3b＜0，根据结论判断即可．
答案：①③
方法总结 根据二次函数的图象确定有关代数式的符号，是二次函数中的一类典型的数形结合问题，具有较强的推理性．解题时应注意a决定抛物线的开口方向，c决定抛物线与y轴的交点，抛物线的对称轴由a，b共同决定，b2－4ac决定抛物线与x轴的交点情况．当x＝1时，决定a＋b＋c的符号，当x＝－1时，决定a－b＋c的符号．在此基础上，还可推出其他代数式的符号．运用数形结合的思想更直观、更简捷．
触类旁通2 小明从如图的二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象中，观察得出了下面五个结论：①c＜0；②abc＞0；③a－b＋c＞0；④2a－3b＝0；⑤c－4b＞0，你认为其中正确的结论有( )
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A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
考点三、二次函数图象的平移
【例3】二次函数y＝－2x2＋4x＋1的图象怎样平移得到y＝－2x2的图象( ) A．向左平移1个单位，再向上平移3个单位 B．向右平移1个单位，再向上平移3个单位 C．向左平移1个单位，再向下平移3个单位 D．向右平移1个单位，再向下平移3个单位
解析：首先将二次函数的解析式配方化为顶点式，然后确定如何平移，即y＝－2x2＋4x＋1＝－2(x－1)2＋3，将该函数图象向左平移1个单位，再向下平移3个单位就得到y＝－2x2的图象．
答案：C
方法总结 二次函数图象的平移实际上就是顶点位置的变换，因此先将二次函数解析式转化为顶点式确定其顶点坐标，然后按照“左加右减、上加下减”的规律进行操作．
触类旁通3 将二次函数y＝x2的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数解析式是( )
A．y＝(x－1)2＋2 B．y＝(x＋1)2＋2
C．y＝(x－1)2－2 D．y＝(x＋1)2－2 考点四、确定二次函数的解析式
【例4】如图，四边形ABCD是菱形，点D的坐标是(0，3)，以点C为顶点的抛物线y＝2
ax＋bx＋c恰好经过x轴上A，B两点．
(1)求A，B，C三点的坐标；
(2)求经过A，B，C三点的抛物线的解析式． 解：(1)由抛物线的对称性可知AE＝BE. ∴△AOD≌△BEC. ∴OA＝EB＝EA.
设菱形的边长为2m，在Rt△AOD中， m2＋(3)2＝(2m)2，解得m＝1. ∴DC＝2，OA＝1，OB＝3.
∴A，B，C三点的坐标分别为(1,0)，(3,0)，(2，3)．
(2)解法一：设抛物线的解析式为y＝a(x－2)2＋3，代入A的坐标(1,0)，得a＝－3.
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