发布时间 : 星期一 文章十年中考数学试题分类解析专题12：押轴题更新完毕开始阅读
解。
（3）通过作辅助线构造一对全等三角形：△CAG≌△OCA，得到CG、AG的长度；然后
利用勾股定理求得AE、EG的长度（用含t的代数式表示）；最后在Rt△ECF中，利用勾股定理，得到关于t的无理方程，解方程求出t的值。
22. （2012上海市14分）如图，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E． （1）当BC=1时，求线段OD的长；
（2）在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由；
（3）设BD=x，△DOE的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域．
【答案】解：（1）∵点O是圆心，OD⊥BC，BC=1，∴BD=
11BC=。 22215?1? 又∵OB=2，∴OD=OB?BD?2????。
2?2?222（2）存在，DE是不变的。
如图，连接AB，则AB=OB2+OA2?22。 ∵D和E是中点，∴DE=AB=2。 （3）∵BD=x，∴OD?4?x2。
∵∠1=∠2，∠3=∠4，∠AOB=900。 ∴∠2+∠3=45°。
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过D作DF⊥OE，垂足为点F。∴DF=OF=4?x22。
由△BOD∽△EDF，得
BDOD，即 =EFDF1x4?x2，解得EF=x。 =2EF24?x2∴OE=x+4?x22。
114?x2x+4?x24?x2+x4?x2∴y?DF?OE??。 ?=（0 y?ax2?bx?a>0?经过点A和x轴正半轴上的点B，AO=OB=2，∠AOB=1200． （1）求这条抛物线的表达式； （2）连接OM，求∠AOM的大小； （3）如果点C在x轴上，且△ABC与△AOM相似，求点C的坐标． 【答案】解：（1）如图，过点A作AD⊥y轴于点D， ∵AO=OB=2，∴B（2，0）。 ∵∠AOB=1200，∴∠AOD=300，∴AD=1，OD=3。 ∴A（－1，3）。 将A（－1，3），B（2，0）代入y?ax2?bx，得： ?3a?????a?b?33 ?，解得?。 ??b??23?4a?2b?0?3? ∴这条抛物线的表达式为y? （2）过点M作ME⊥x轴于点E， 3223x?x。 333223332x?x??x?1??。 333333 ∴M（1，?），即OE=1，EM=。 33EM3? ∴tan?EPM?。∴?EPM?300。 OE3 ∵y? ∴?AOM??AOB??EPM?1500。 （3）过点A作AH⊥x轴于点H ， ∵AH=3，HB=HO＋OB=3， ∴tan?ABH?AH3?。 HB3 ∴?ABH?300，∴?ABC?1500。 ∴?AOM??ABC。 ∴要△ABC与△AOM相似，则必须： ① AOOMAOOM，或②。 ??ABBCBCAB 设点C的坐标为（c，0），则根据坐标和勾股定理，有 ?3?23? AO=2，OM?12??，BC?c?2，AB?32???3?3??2??32?23。 标为（4，0）或（8，0）。 【考点】二次函数综合题，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，勾股定理，相似三角形的判定，分类思想的应用。 【分析】（1）应用三角函数求出点A的坐标，将A，B的坐标代入y?ax2?bx，即可求得a、b，从而求得抛物线的表达式。 （2）应用二次函数的性质，求出点M的坐标，从而求得?EPM?300，进而求得∠AOM的 大小。 （3）由于可得?AOM??ABC，根据相似三角形的判定，分 种情况讨论。 24.（2013年上海市14分）在矩形ABCD中，点P是边AD上的动点，连接BP，线段BP的垂直平分线交边BC于点Q，垂足为点M，连接QP（如图）．已知AD=13，AB=5，设AP=x，BQ=y． （1）求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围； （2）当以AP长为半径的⊙P和以QC长为半径的⊙Q外切时，求x的值； （3）点E在边CD上，过点E作直线QP的垂线，垂足为F，如果EF=EC=4，求x的值． AOOMAOOM， 两??ABBCBCAB 【答案】解：（1）根据题意，得AP=x，BQ=y，AB=5，BP?52?x2?25?x2， 25?x2 ∵QM是线段BP的垂直平分线，∴BM?。 2