发布时间 : 星期日 文章全国各地中考数学试题分类汇编（第2期）专题23 直角三角形与勾股定理（含解析）更新完毕开始阅读
关键．
6．（2016·湖北荆州·8分）如图，将一张直角三角形ABC纸片沿斜边AB上的中线CD剪开，得到△ACD，再将△ACD沿DB方向平移到△A′C′D′的位置，若平移开始后点D′未到达点B时，A′C′交CD于E，D′C′交CB于点F，连接EF，当四边形EDD′F为菱形时，试探究△A′DE的形状，并判断△A′DE与△EFC′是否全等？请说明理由．
【分析】当四边形EDD′F为菱形时，△A′DE是等腰三角形，△A′DE≌△EFC′．先证明CD=DA=DB，得到∠DAC=∠DCA，由AC∥A′C′即可得到∠DA′E=∠DEA′由此即可判断△DA′E的形状．由EF∥AB推出∠CEF=∠EA′D，∠EFC=∠A′D′C=∠A′DE，再根据A′D=DE=EF即可证明．
【解答】解：当四边形EDD′F为菱形时，△A′DE是等腰三角形，△A′DE≌△EFC′． 理由：∵△BCA是直角三角形，∠ACB=90°，AD=DB， ∴CD=DA=DB， ∴∠DAC=∠DCA， ∵A′C∥AC，
∴∠DA′E=∠A，∠DEA′=∠DCA， ∴∠DA′E=∠DEA′， ∴DA′=DE，
∴△A′DE是等腰三角形． ∵四边形DEFD′是菱形， ∴EF=DE=DA′，EF∥DD′，
∴∠CEF=∠DA′E，∠EFC=∠CD′A′， ∵CD∥C′D′，
∴∠A′DE=∠A′D′C=∠EFC， 在△A′DE和△EFC′中，
，
∴△A′DE≌△EFC′．
【点评】本题考查平移、菱形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形斜边中线定理等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，属于中考常考题型．
7．（2016·湖北荆州·10分）如图，A、F、B、C是半圆O上的四个点，四边形OABC是平行四边形，∠FAB=15°，连接OF交AB于点E，过点C作OF的平行线交AB的延长线于点D，
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延长AF交直线CD于点H．
（1）求证：CD是半圆O的切线；
（2）若DH=6﹣3，求EF和半径OA的长．
【分析】（1）连接OB，根据已知条件得到△AOB是等边三角形，得到∠AOB=60°，根据圆周角定理得到∠AOF=∠BOF=30°，根据平行线的性质得到OC⊥CD，由切线的判定定理即可得到结论；
（2）根据平行线的性质得到∠DBC=∠EAO=60°，解直角三角形得到BD=BC=AB，推出AE=AD，根据相似三角形的性质得到可得到结论． 【解答】解：（1）连接OB， ∵OA=OB=OC，
∵四边形OABC是平行四边形， ∴AB=OC，
∴△AOB是等边三角形， ∴∠AOB=60°， ∵∠FAD=15°， ∴∠BOF=30°，
∴∠AOF=∠BOF=30°， ∴OF⊥AB， ∵CD∥OF， ∴CD⊥AD， ∵AD∥OC， ∴OC⊥CD，
∴CD是半圆O的切线；
（2）∵BC∥OA，
∴∠DBC=∠EAO=60°， ∴BD=BC=AB， ∴AE=AD， ∵EF∥DH，
∴△AEF∽△ADH，
，求得EF=2﹣
，根据直角三角形的性质即
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∴，
∵DH=6﹣3， ∴EF=2﹣， ∵OF=OA，
∴OE=OA﹣（2﹣）， ∵∠AOE=30°， ∴
=
=
，
解得：OA=2．
【点评】本题考查了切线的判定，平行四边形的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，连接OB构造等边三角形是解题的关键．
8.（2016·福建龙岩·12分）图1是某公交公司1路车从起点站A站途经B站和C站，最终到达终点站D站的格点站路线图．（8×8的格点图是由边长为1的小正方形组成）
（1）求1路车从A站到D站所走的路程（精确到0.1）；
（2）在图2、图3和图4的网格中各画出一种从A站到D站的路线图．（要求：①与图1路线不同、路程相同；②途中必须经过两个格点站；③所画路线图不重复） 【考点】作图—应用与设计作图；勾股定理的应用． 【分析】（1）先根据网格求得AB、BC、CD三条线段的长，再相加求得所走的路程的近似值； （2）根据轴对称、平移或中心对称等图形的变换进行作图即可． 【解答】解：（1）根据图1可得：∴A站到B站的路程=
（2）从A站到D站的路线图如下：
，≈9.7；
，CD=3
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9．（2016·山东省菏泽市·3分）如图，点O是△ABC内一点，连结OB、OC，并将AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连结，得到四边形DEFG． （1）求证：四边形DEFG是平行四边形；
（2）若M为EF的中点，OM=3，∠OBC和∠OCB互余，求DG的长度．
【考点】平行四边形的判定与性质．
【分析】（1）根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EF∥BC且EF=BC，DG∥BC且DG=BC，从而得到DE=EF，DG∥EF，再利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可；
（2）先判断出∠BOC=90°，再利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，求出EF即可． 【解答】解：（1）∵D、G分别是AB、AC的中点， ∴DG∥BC，DG=BC，
∵E、F分别是OB、OC的中点，
∴EF∥BC，EF=BC， ∴DE=EF，DG∥EF，
∴四边形DEFG是平行四边形； （2）∵∠OBC和∠OCB互余， ∴∠OBC+∠OCB=90°， ∴∠BOC=90°，
∵M为EF的中点，OM=3， ∴EF=2OM=6．
由（1）有四边形DEFG是平行四边形， ∴DG=EF=6．
【点评】此题是平行四边形的判定与性质题，主要考查了平行四边形的判定和性质，三角形的中位线，直角三角形的性质，解本题的关键是判定四边形DEFG是平行四边形．
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