发布时间 : 星期二 文章全国各地中考数学试题分类汇编（第2期）专题23 直角三角形与勾股定理（含解析）更新完毕开始阅读
y A D E C1O C B C2 x
答案图 故答案为：10． 8.（2016·湖北黄石·3分）如图所示，正方形ABCD对角线AC所在直线上有一点O，OA=AC=2，将正方形绕O点顺时针旋转60°，在旋转过程中，正方形扫过的面积是 2π+2 ．
【分析】如图，用大扇形的面积减去小扇形的面积再加上正方形ABCD的面积． 【解答】解：∵OA=AC=2， ∴AB=BC=CD=AD=S阴影=
，OC=4，
+
=2π+2，
故答案为：2π+2． 【点评】此题考查了扇形的面积公式和旋转的性质以及勾股定理，能够把不规则图形的面积转换为规则图形的面积是解答此题的关键．
解答题
1. （2016·湖北随州·10分）爱好思考的小茜在探究两条直线的位置关系查阅资料时，发现了“中垂三角形”，即两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．如图（1）、图（2）、图（3）中，AM、BN是△ABC的中线，AN⊥BN于点P，像△ABC这样的三角形均为“中垂三角形”．设BC=a，AC=b，AB=c． 【特例探究】
（1）如图1，当tan∠PAB=1，c=4如图2，当∠PAB=30°，c=2时，a=
时，a= 4 ，b=
，b= 4
；
；
【归纳证明】
222
（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想a、b、c三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你的结论． 【拓展证明】
（3）如图4，?ABCD中，E、F分别是AD、BC的三等分点，且AD=3AE，BC=3BF，连接AF、BE、CE，且BE⊥CE于E，AF与BE相交点G，AD=3
，AB=3，求AF的长．
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【考点】四边形综合题． 【分析】（1）①首先证明△APB，△PEF都是等腰直角三角形，求出PA、PB、PE、PF，再利用勾股定理即可解决问题．
②连接EF，在RT△PAB，RT△PEF中，利用30°性质求出PA、PB、PE、PF，再利用勾股定理即可解决问题．
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（2）结论a+b=5c．设MP=x，NP=y，则AP=2x，BP=2y，利用勾股定理分别求出a、b、c即可解决问题．
（3）取AB中点H，连接FH并且延长交DA的延长线于P点，首先证明△ABF是中垂三角形，利用（2）中结论列出方程即可解决问题． 【解答】（1）解：如图1中，∵CE=AE，CF=BF， ∴EF∥AB，EF=AB=2， ∵tan∠PAB=1，
∴∠PAB=∠PBA=∠PEF=∠PFE=45°， ∴PF=PE=2，PB=PA=4， ∴AE=BF=∴b=AC=2AE=4故答案为4
=2
．
．
，a=BC=4，4
．
如图2中，连接EF， ，∵CE=AE，CF=BF， ∴EF∥AB，EF=AB=1， ∵∠PAB=30°， ∴PB=1，PA=
，
在RT△EFP中，∵∠EFP=∠PAB=30°， ∴PE=，PF=∴AE=∴a=BC=2BF=故答案分别为
， =
，BF=
，
=
，
，b=AC=2AE=，
．
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（2）结论a2+b2=5c2
．
证明：如图3中，连接EF． ∵AF、BE是中线， ∴EF∥AB，EF=AB， ∴△FPE∽△APB，
∴==，
设FP=x，EP=y，则AP=2x，BP=2y， ∴a2=BC2=4BF2=4（FP2+BP2）=4x2+16y2
， b2=AC2=4AE2=4（PE2+AP2）=4y2+16x2
， c2=AB2=AP2+BP2=4x2+4y2
， ∴a2+b2=20x2+20y2=5（4x2+4y2）=5c2
．
（3）解：如图4中，在△AGE和△FGB中，
，
∴△AGE≌△FGB，
∴BG=FG，取AB中点H，连接FH并且延长交DA的延长线于P点，同理可证△APH≌△BFH， ∴AP=BF，PE=CF=2BF， 即PE∥CF，PE=CF，
∴四边形CEPF是平行四边形， ∴FP∥CE， ∵BE⊥CE，
∴FP⊥BE，即FH⊥BG， ∴△ABF是中垂三角形，
由（2）可知AB2+AF2=5BF2
， ∵AB=3，BF=AD=，
∴9+AF2
=5×（）2
，
∴AF=4．
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2. （2016·四川南充）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC的平分线交BC于点O，OC=1，以点O为圆心OC为半径作半圆． （1）求证：AB为⊙O的切线； （2）如果tan∠CAO=，求cosB的值．
【分析】（1）如图作OM⊥AB于M，根据角平分线性质定理，可以证明OM=OC，由此即可证明．
（2）设BM=x，OB=y，列方程组即可解决问题． 【解答】解：（1）如图作OM⊥AB于M， ∵OA平分∠CAB，OC⊥AC，OM⊥AB， ∴OC=OM，
∴AB是⊙O的切线，
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（2）设BM=x，OB=y，则y﹣x=1 ①， ∵cosB=
=
，
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