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实验1 核衰变的统计规律
实验目的
1. 了解并验证原子核衰变及放射性计数的统计性。 2. 了解统计误差的意义，掌握计算统计误差的方法。 3. 学习检验测量数据的分布类型的方法。
内容
1. 在相同条件下，对某放射源进行重复测量，画出放射性计数的频率直方图，并与理论分布曲线作比较。
2. 在相同条件下，对本底进行重复测量，画出本底计数的频率分布图，并与理论分布图作比较。
3. 用?2检验法检验放射性计数的统计分布类型。
原理
在重复的放射性测量中，即使保持完全相同的实验条件（例如放射源的半衰期足够长，在实验时间内可以认为其活度基本上没有变化，源与计数管的相对位置始终保持不变；每次测量时间不变，测量仪器足够精确，不会产生其它的附加误差等等)，每次的测量结果并不完全相同，而是围绕着其平均值上下涨落，有时甚至有很大的差别。这种现象就叫做放射性计数的统计性。放射性计数的这种统计性反映了放射性原子核衰变本身固有的特性，与使用的测量仪器及技术无关。
1. 核衰变的统计规律
放射性原子核衰变的统计分布可以根据数理统计分布的理论来推导。放射性原子核衰变的过程是一个相互独立彼此无关的过程，即每一个原子核的衰变是完全独立的，和别的原子核是否衰变没有关系，而且哪一个原子核先衰变，哪一个原子核后衰变也纯属偶然的，并无一定的次序，因此放射性原子核的衰变可以看成是一种伯努里试验问题。设在t=0时，放射性原子核的总数是N0，在t时间内将有一部分核发生了衰变。已知任何一个核在t时间内衰变的概率为p?(1?e)，不衰变的概率为q=1-p=e??t，
利用二项式分布可以得到在t时间内有n个核发生衰?是该放射性原子核的衰变常数。
变的概率P(n)为
p(n)?N0!?n(1?e??t)n(e??t)N0 （1）
(N0?n)!n!??t在t时间内，衰变掉的粒子平均数为
m?N0p?N0(1?e??t) （2） 其相应的均方根差为
??N0pq?m(1?p)?(me??t12) （3）
假如?t??1，即时间t远比半衰期小，这时?可简化为
??m （4）
N0总是一个很大的数目，而且如果满足?t??1，则二项式分布可以简化为泊松分
布，因为在二项式分布中，N0不小于100,而且p不大于的情况下，泊松分布能很好的近似于二项式分布，此时
mn?me （5） p(n)?n!在泊松分布中，n的取值范围为所有的正整数（0，1，2，3，…），并且在n=m附近时，p(n)有一极大值，当m较小时，分布是不对称的，m较大时，分布渐趋近于对称。当m≥20时，泊松分布一般就可用正态（高斯）分布来代替。
p(n)??(n?m)2e （6） 22?2??1式中?2?m，p(n)是在n处的概率密度值。
现在我们分析在放射性商量中，计数值的统计分布。原子核衰变的统计现象服从
的泊松分布和正态分布也适用于计数的统计分布，因此，只需将分布公式中的放射性核的衰变数n改换成计数N，将衰变掉粒子的平均数m改换成计数的平均值M变可以了。
MN?Me （7） P(N)?N1 P(N)??(N?M)2e (8) 22?2??1式中?2?m，当M值较大时，由于N值出现在M值附近的概率较大，?2可用某
一次计数值N来近似，所以?2?N。
由于核衰变的统计性，我们在相同条件下作重复测量时，每次测量结果并不相同，有大有小，围绕着平均计数值M有一个涨落，其涨落大小可以用均方要差
?2?M?N来表示。
由（8）式可以看出，正态分布决定于平均值M及均方根差?这两个参数，它对称于N=M，见图1。对于M=0，??1，这种分布数值表都是对应于标准正态分布的。
图1 正态分布图
计数值处于N?N?dN内的概率为 P(N)dN??(N?M)2edN 22?2??1为了计算方便，需作如下的变量置换（称标准化），令
N?M? z??
??则
P(N)dN?12??e1??22?2d?
z22 ?12?z222?e
而??z0e?dz称为正态分布概率积分，此积分的数值表在《原子核物理
实谅方法》下册［2］的附录上可以查到。
如果我们对某一放射源进行多次重复测量，得到一组数据，其平均值为N，那末计数值落在N??(即N?
用变量z?N?NN)范围内的概率为
?来置换之，并查表［Z］，上式即为
这就是说，在某实验条件下进行单次测量，如果计数值为N1，（N1来自一个正态分布总体），那末我们可以说N1落在N?过来说，在N1N(即N??)范围内的概率为%，或者反
N1来代替
N范围内包含真值的概率是%。实质上，从正态分布的特点来看，由
于出现概率较大的计数值与平均值N的偏差较小，所以我们可以用
N。对于单次测量值N1，可以近似地说，在N1?N1范围内包含真值的概率是%，这样用单次测量值就大体上确定了真值所在的范围，这种由于放射性衰变的统计性而引起的误差，叫做统计误差。放射统计涨落服从正态分布，所以用均方根差（也称标准误差）??N来表示。当采用标准误差表示放射性的单次测量值N1时，则可以
表示为N1???N1?N?N1?N1。用数理统计的术语来说，将%称为“置信概率”（或叫做“置信度”），相应的“置信区间”即为N??，而当置信区间为N?2?、N?3?时，相应的置信概率则为%和%。
2. x2检验法
放射性衰变是否符合于正态分布或泊松分布，由一组数据的频率直方图或频率分布图与理论正态分布或泊松分布作比较，可以得到一个感性的认识，而x检验法则提供一种较精确的判别准则。它的基本思想是比较被测对象应有的一种理论分布和实测数据分布之间的差异，然后从某种概率意义上来说明这种差异是否显着，如果差异显着，说明测量数据有问题，反之，则认为差异在某种概率意义上不显着，测量数据正常。
设对某一放射源进行重复测量得到了K个数值，对他们进行分组，分组序号用i表示，j＝1、2、3…h，令
x2??j?1h2(fj?fj)2fj
其中h代表分组数，fj表示各组的实际观测次数，fj为根据理论分布计算得到的各组理论次数。求理论次数的方法是：从正态分布概率积分数值表上查出各区间的概率，再将它乘以总次数。
22可以证明，x统计量近似地服从x分布，且其自由度是h?l?1，这里l是在计算理论次数时所用的参数个数。对于正态分布，自由度为h?3，对于泊松分布，自由度为h?2。
22统计量x可以用来衡量实测分布与理论分布之间有无明显的差异。使用x检验时，要求总次数不小50,以及任一组的理论次数不小于5（最好在10以上），否则可以将组
2适当地合并以着性水平，查出对应的xa值（在参考资料［2］的附录中有此表），比较
2计算量x和xa的大小来判断拒绝或接受理论分布。这种判断是在某一显着性水平?上
22得出来的。例如对于某一服从泊松分布的数据，其计数平均值为,计算统计量x＝13,
2?16.919，因实测得到自由度是9,如取显着性水平??0.05时，查表得到xa2x2?13?xa?16.919，所以认为此组数据服从泊松分布。
装置