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第一章 有限拍无纹波调节器的设计
计算机控制系统的设计，是指在给定系统性能指标的条件下，设计出数字调节器，使系统达到要求的性能指标。本章介绍的离散化设计是在Z平面上设计的方法，对象可以用离散模型表示或者用离散化模型表示的连续对象。离散化设计比模拟设计精确，所以，离散化设计有的也称为精确设计法。离散化设计时也应该合理选择采样周期，系统必须工作在线区。
有限拍无纹波设计思路 1.1.1有限拍设计概述
有限拍设计的要求是在系统在典型的输入作用下，经过尽可能少的采样周期后系统达到稳定。并且，在采样点之间没有波纹。有限拍无波纹设计其实是一种时间的最优控制。
A(z?1)典型输入的Z变换具有R(z)?的形式；有限拍随动系统如图示，图1-1?1m(1?z)中D（z）是数字调节器模型，由计算机实现，H0(s)是零阶保持器的传递函数。
R(S) + E（Z） D(Z) _ H0(S) G(S) Y(Z)
T T 零阶保持器 对象 T 有限拍调节器 图1-1 有限拍随动系统
G(s)是控制对象的传递函数，零阶保持器和控制对象离散化以后，成为广义对象的Z传递函数HG(z)：
HG(z)=Z[H0(s)G(s)] （1-1）
有限拍随动系统的闭Z环传递函数Gc?有限拍随动系统的误差Z传递函数
D(z)HG(z) （1-2）
?1?D(z)HG(z)?Ge(z)?E(z)?1?Gc(z) R(z)=
1 （1-3）
[1?D(z)HG(z)]有限拍随动系统的调节器由（1-2）和（ 1-3）可得：
D(z)Gc(z) （1-4）
Ge(z)HG(z)我们都清楚，随动系统的调节时间也就是系统的误差e(kT)达到恒定值或趋于零所需要的时间，根据Z变换的定义：
E(z)??e(kT)z?k=e(0)?e(T)z?1?e(2T)z?2?e(3T)z?3???e(kT)z?k??（1-5）
k?0?由式（1-5）就可知道e(0),e(T),e(2T),?,e(kT),?。有限拍系统就是要求系统在典型的输入作用下，当k≥N时，e(kT)为恒定值或e(kT)等于零。N为尽可能小的正整数。
由式（ 1-3）得
A(z?1)E(z)?Ge(z)R(z)?Ge(z) （1-6） ?1m(1?z) 在特定的输入作用下，为了使（1-6）式中E（z）是尽可能少的有限项，必须合理地选择Ge(z)。若选择Ge(z)=(1?z?1)MF(z) M≥m
F(z)是z?1的有限多项式，不含有（1-z?1）因子。则可使E（z）是有限多项式。
当选M=m，且F（z）=1时，不仅可以使数字调节器简单，阶数比较低，而且还可以使E（z）的项数较少，因而调节时间ts较短，据此，对于不同的输入，可以选择不同的误差Z传递函数。
有限拍设计的方法、过程及其结构虽然简单明了，但是在设计的过程中我们还是要注意到以下问题：
（1）有限拍系统对输入形式的适应性差； （2）有限拍系统对参数的变化很敏感； （3）采样频率的上限受到饱和特性的限制；
（4）有限拍系统不能保证采样点之间的误差为零或恒值，系统存在纹波，纹波
对系统的工作是有害的。
故为保证采样点之间的误差为零或恒值，需进行有限拍无纹波的设计。
1.1.2有限拍调节器的设计
有限拍系统采用Z变换方法进行设计，采样点上的误差为零，不能保证采样点之间误差值为零，有限拍系统的输出响应在采样点之间存在纹波。纹波不仅造成误差，也能消耗功率，消费能量，而且造成机械摩损。有限拍的设计要求是在系统的典型输入作用下，经过尽可能少的采样周期以后，系统达到稳定。并且，在采样点之间没有纹波。波动是零阶保持器的输入e2(kT)的波动造成的。有限拍无纹波设计就是要求当k≥N时，e2(kT)保持恒值，或为零，N为某正数。
由于 E2(z)?D(z)E1(z)?D(z)GeR(z)。若选定D(z)Ge(z)是z?1的有限多项式，那么，在确定的输入作用下，经过有限拍，e2(kT)就能达到某恒定值，而且能保证系统的输出没有纹波。
由（1-4）式，有限拍调节器D(z)?Gc(z)，它跟系统的闭环Z传递函数Gc(z)Ge(z)HG(z)和输入型式[与选择的Ge(z)]有关，也跟对象的特性HG(z)有关。
当对象特性HG(z)中包含z?r因子以及单位圆上（z=1除外）和单位圆外的零点时，有限拍调节器将可能无法实现。
z设 HG(z)=
?r?1(1?zz?i)i?1?1l?(1?pzii?1nn
)z则D(z)?r?(1?pzii?1ni?1?1)Gc(z) （1-7）
Ge(z)?(1?ziz?1)式中zi是HG(z)零点，pi是HG(z)极点
由式（1-7）可见，若D(z)中存在zr环节，则表示数字调节器应具有超前特性，即在环节施加输入信号之前r个采样周期就应当由输出，这样的超前环节是不可能实
现的。所以HG(z)分子中含有z?r因子时，必须使闭环Z传递函数Gc(z)的分子中含有
z?r因子，以抵消HG(z)中的z?r因子，以免D(z)中出现超前环节。
在式（1-7）中，若在?(1?ziz?1)中，存在单位圆上（zi?1除外）和单位圆外
i?1l的zi时，则D(z)将是发散不可实现的，因此，D(z)中不允许包含HG(z)的这类零点，从而保证了D(z)的稳定性。当然，Gc(z)的分子部分增加了这些zi≥1（zi?1除外）的零点以外后，将使调节时间ts加长。
由式（1-4），有限拍系统的闭环传递函数 Gc(z)?D(z)HG(z)Ge(z)。若对象特性HG(z)的极点?(1?piz?1)中，存在单位圆上（pi?1除外）或单位圆外的极点时，
i?1n为了保证系统的输出稳定，HG(z)的单位圆上（pi?1除外）或单位圆外的极点，用
Ge(z)的零点对消掉。
有限拍系统采用Z变换方法进行设计，有限拍系统的输出响应在采样点之间存在纹波。有限拍的设计要求是在系统的典型输入作用下，经过尽可能少的采样周期以后，系统达到稳定，并且在采样点之间没有纹波。
1.1.3 采样频率的选择
按照典型输入的有限拍系统，其调节时间ts为一个到几个采样周期T。也就是说
调节时间ts跟有限拍系统的采样周期T有关，那么，当系统的采样频率无限增加，也就是采样周期无限缩短时，系统地调节时间ts不是趋近于零了吗事实上，从能量的角度来说，这是不可能的，因为不可能提供无穷大的能量，使系统在一瞬间从一种状态进入到另一种状态。
另外，由于采样频率fs的上限受到饱和特性的限制，不可能无限提高fs。
1.1.4 有限拍无纹波设计
有限拍系统采用Z变换方法进行设计，采样点上的误差为零，不能保证采样点之间误差值为零，有限拍系统的输出响应在采样点之间存在纹波。纹波不仅造成误差，也能消耗功率，消费能量，而且造成机械摩损。有限拍的设计要求是在系统的典型输入作用下，经过尽可能少的采样周期以后，系统达到稳定。并且，在采样点之间没有