发布时间 : 星期一 文章全国大学生数学竞赛试题解答及评分标准(非数学类)更新完毕开始阅读
V?(a)?25?a??13(1?2a)??827(1?a)?0， 得
54a?45?90a?40?40a?0 即
4a?5?0
因此
a??54,b?32,c?1.
七、（15分）已知un(x)满足u?(x)?un(x)?xn?1ex(n?1,2,?), 且uenn(1)?n, ?数项级数?un(x)之和.
n?1解
u?n(x)?un(x)?xn?1ex， 即
y??y?xn?1ex
由一阶线性非齐次微分方程公式知
y?ex(C??xn?1dx)
即
?ex(C?xnyn)
因此
u(x)?ex(C?xnnn)
由en?u1)?e(C?1n(n)知，C?0， 于是
xnexun(x)?n
下面求级数的和：
令
??(x)??uxnexSn(x)?n?1?n?1n
则
?xnex?x)?exS?(x)??(xn?1ex?)?S(n?1xn?1n?xe?S(x)?n?11?x
即
(x)?S(x)?exS?1?x
由一阶线性非齐次微分方程公式知
精选
求函S(x)?ex(C??1dx) 1?x?n?1令x?0，得0?S(0)?C，因此级数?un(x)的和
S(x)??exln(1?x)
?八、（10分）求x?1时, 与?xn等价的无穷大量.
?2n?0解 令f(t)?xt，则因当0?x?1，t?(0,??)时，f?(t)?2txtlnx?0，故
f(t)?x?et2?t2ln1x22在(0,??)上严格单调减。因此
f(t)dt??f(n)?f(0)???n?0n?1???0???0f(t)dt???n?0??0?n?1??nnn?1f(t)dt?1????0f(t)dt
即
?又
?f(t)dt??f(n)?1??n?0f(t)dt，
?n?0f(n)??xn，
n?0?211?limx?limx?1 x?11?xx?1?1ln???0f(t)dt????0xdt??e0t2???t2ln1xdt?1ln1???0e?tdt?21ln?12x，
x?21??所以，当x?1时, 与?xn等价的无穷大量是。
21?xn?0
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