发布时间 : 星期一 文章全国大学生数学竞赛试题解答及评分标准（非数学类）更新完毕开始阅读
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第三届全国大学生数学竞赛预赛试卷
（非数学类）
一．计算下列各题（本题共3小题，每小题各5分，共15分，要求写出重要步骤。） （1）.求lim??sinx??x?0x??11?cosx11?cosx；
解：方法一（用两个重要极限）：
?sinx?lim??x?0x???limex?0?sinx?x??lim?1??x?0x??sinx?xx?013x2limxsinx?x?sinx?xx?1?cosx?sinx?xx?1?cosx??e?ecosx?1x?032x2lim?e1?x2lim2x?032x2
?e?13方法二（取对数）：
?sinx?lim??x?0x???esinx?xx?013x2lim11?cosx?e?sinx?ln??x??limx?01?cosx?esinx?1xlimx?012x2
cosx?1x?032x2lim1?x2lim2x?032x213?e?e?e11??1（2）.求lim???...??； n??n?1n?2n?n??111解：方法一（用欧拉公式）令xn? ??...?n?1n?2n?n11由欧拉公式得1??L??lnn=C+o（1），2n
1111则1??L???L??ln2n=C+o（1），2nn?12n其中，o??1?表示n??时的无穷小量，
?两式相减，得：xn-ln2?o（1）,?limxn?ln2. n??方法二（用定积分的定义）
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limn??xn?lim1n??n?lim(1n??n?1?L?12n)?lim1n??n(1?L?1) 1?1nn1?n1??11?xdx?ln2 0?（3）已知??x?ln?1?e2t?，求d2y。??y?t?arctanetdx2 解：dx2e2tdyetdy1?et2te2ttdt?1?e2t,dt?1?1?e2t?dx?1?e?e?12e2t?2e2t1?e2td2yd?dy?1et?21?e2t?1?e2t??et?2?dx2?dt??dx???dx?2e2tg2e2t?4e4t dt二．（本题10分）求方程?2x?y?4?dx??x?y?1?dy?0的通解。解：设P?2x?y?4,Q?x?y?1，则Pdx?Qdy?0 ?P?y??Q?x?1,?Pdx?Qdy?0是一个全微分方程，dz?Pdx?Qdy
方法一：由?z?x?P?2x?y?4得
z???2x?y?4?dx?x2?xy?4x?C?y?
由?z?y?x?C'?y??Q?x?y?1得C'?y??y?1,?C?y??122y?y?c
z?x2?xy?4x?122y?y?c
方
法
二z??dz??Pdx?Qdy???x,y??0,0??2x?y?4?dx??x?y?1?dy ?P?y??Q?x,?该曲线积分与路径无关 精选
设：
? Q?Q12?z???2x?4?dx???x?y?1?dy?x?4x?xy?y?y
002xy2三．（本题15分）设函数f(x)在x=0的某邻域内具有二阶连续导数，且
f?0?,f'?0?,f\?0?均不为0，证明：存在唯一一组实数k1,k2,k3，使得k1f?h??k2f?2h??k3f?3h??f?0?lim?0。 2h?0h证明：由极限的存在性：lim??k1f?h??k2f?2h??k3f?3h??f?0????0
即
?k1?k2?k3?1?f?0??0，又f?0??0，?k1?k2?k3?1①
k1f?h??k2f?2h??k3f?3h??f?0?h2k1f'?h??2k2f'?2h??3k3f'?3h?h?0h?0由洛比达法则得
limh?0
2h'''由极限的存在性得lim?k1f?h??2k2f?2h??3k3f?3h???0
??h?0?lim?0即
?k1?2k2?3k3?f'?0??0，又f'?0??0，?k1?2k2?3k3?0②
k1f'?h??2k2f'?2h??3k3f'?3h?2hk1f\?h??4k2f\?2h??9k3f\?3h??0
再次使用洛比达法则得
limh?02??k1?4k2?9k3?f\?0??0Qf\?0??0?k1?4k2?9k3?0③
?k1?k2?k3?1?由①②③得k1,k2,k3是齐次线性方程组?k1?2k2?3k3?0的解
?k?4k?9k?023?1?111??k1??1???????设A?123,x?k2,b?0，则Ax?b， ???????149??k??0????3???h?0?lim精选