发布时间 : 星期一 文章《数学分析》（华师大二版）课本上的习题12-15更新完毕开始阅读
（５）
e?x0x1?x; （６）
x1?2x?2x2;
（７）
sint?xdt （８）（１＋x）e; t（９）ln(x?1?x)
2３．求下列函数在x=1处的泰勒展开式：
（１）f(x)=3+2x-4x2+7x3; (2)f(x)=1/x; 4.求下列函数的马克劳林级数展开式：
（１）
x(1?x)(1?x)2; （２）x arctg x-ln1?x
25.试将f(x)=ln x按
x?1的幂展开成幂级数。 x?1
总练习题 １．证明：当｜x |<1/2时，
11?3x?2x2?1?3x?7x?...?(2?1)x2nn?1?...
２．求下列函数的幂级数展开式：
（１）f(x)=(1+x)ln (1+x); (2)f(x)=sin3x;
(3)f(x)??x0costdt
23.确定下列幂级数的收敛域，并求其和函数；
（１）
?nx2n?1; （２）?n?12n?12n?1x2n;
（３）
?n(x?1); (4)?(?1)nx(2n)n2n?12. ?14.应用幂级数性质求下列级数的和：
(?1)n; ; （2）? （1）?3n?1(n?1)!n?0?5．设函数f(x)??xnn2定义在[0，1]上，证明它在（0，1）上满足方程：
f(x)?f(1?x)?lnxln(1?x)?f(1).
6．设圆弧AB的弦长为a, 圆弧AB一半所对应的弦长为b,证明：AB的弧长l?
1(8b?a) 37．利用函数的幂级数展开式求下列不定式极限： （1）
lim[ln(n?1)?lnn]; （2）limn??x?arcsinxx?0sin3x;
（3）
limx??12[x?xln(1?)];
x
第十五章 傅立叶级数 §1傅立叶级数
1．在指定区间内把下列函数展开成傅立叶级数： （1）f(x)=x (i)-? f(x)= (a,b为不等于0的常数，且a?b) bx 0 2.设f是以2?为周期的可积函数，证明对任何实数c有 an?n1??cc?2?cf(x)cosnxdx?1?????1?f(x)cosnxdx,n?0,1,2,..... b?1??c?2?f(x)sinnxdx?????f(x)sinnxdx,n?0,1,2... 3.把函数 - f(x)= ? -? 111???....; 4357?11111???.... （2）?1???357111317 （1） ??1? （3） 311111??1??????... 6571113174．设函数f(x)满足条件：f(x+?)=-f(x),问此函数在（-?，?）的傅立叶级数满足什么特性。 5．函数f(x)满足条件：f(x+?)=f(x),问此函数在（-?，?）的傅立叶级数满足什么特性？ 6．试证函数系cos nx, n=0,1,2….和sin nx, n=1,2,…都是[0，?]上的正交函数系，但它们合起来的（5）式不是[0，?]上的正交函数系。 7．求下列函数的傅立叶展开式： （1）f(x)???x2,0?x?2?； （2）f(x)?1?cosx, -? (3) f(x)=ax2+bx+c, (i)0 8.求函数f(x)= 122(3x?6?x?2?),0 9．设f为[-?，?]上光滑函数，且f(-?)=f(?),导函数f的傅立叶系数。证明： ‘ a,b为f的傅立叶级数，a nn’ ’n，bn为 f的 an?0, 'an?nbn， 'b'n??nan。（n=1,2,…） 10.设f为[-?，且f(-?)=f(?)，证明：?]上的光滑函数， 0?11??()??(，annbnn),（n??). nna??(cos11.证明：若三角级数nx?bsinnx)中的系数a,ba2n?1nnn满足关系， max?n3an,n3bn??M,M为常数，则上述三角级数收敛，且其和函数具有连续的导 函数。 §2 以2l为周期的函数的展开式 1. 下列周期函数的傅立叶级数展开式： （1）f(x)=| cos x |; (2) f(x) = x-[x]; (3)f(x)=sin4x; (4)f(x)=sgn(cos x). 2. 求函数 x 0?x?1 f(x)= 1 1 3-x 2?x?3 的傅立叶级数并讨论其收敛性。 ３．将函数f(x)= ?2?x在[0，?]上展开成余弦级数。 x在[0，?]上展开正弦级数。 2５．把函数 1-x, 0?x?2 ４．将函数f(x)?cosf(x)= x-3, 2 在（0，4）上展开成余弦级数。 ６．把函数f(x)?(x?1)2在（0，1）上展开余弦级数，并推出 ?2?6(1?123?212?...). ７．求下列函数的傅立叶级数展开式： （1）f(x)=arcsin (sin x); (2)f(x)=arc sin(cos x). 8.试问如何把定义在[0，?/2]上的可积函数f延拓到区间（-?，?）内，使它们的傅立叶级数为如下形式： （1） ?an?1?2n?1cos(2n?1)x; （2）?b2n?1sin(2n?1)x. n?1? §3 收敛定理的证明 1．设f为（-?，?）上以2?为周期的光滑函数，证明f的傅立叶级数在（-?，?）上一致收敛于f. 2.f为[-?，?]上可积函数，证明：若f的傅立叶级数在[-?，?]上一致收敛于f,则成立巴塞伐（parseval）等式： a ?[f(x)]dx?0??(a?b). nn??21?2?22?n?12这里an,bn为f的傅立叶系数。 3. 由于巴塞伐等式对于在[-?，?]上满足收敛定理条件的函数也成立（证略）。请应用这 个结果证明下列各式： （1）?（3）?284??n?1??1(2n?1)12 （2）?26??n?1?1n2， 90??n?1n4 4.证明：若f,g均为[-?,?]上可积函数，且它的傅立叶级数在[-?，?]上分别一致收敛于f a???(和g,则?f(x)g(x)dx?a??b???21?00??n?1nnnn) 其中 a,b为f的傅立叶系数，?,?nnnn为g的傅立叶系数。 5.证明：若f及其导函数f均在[-?，?]上可积， ‘ ??f(x)dx?0,且成立巴塞伐等式，则 ?? ??f??'(x)dx?????f(x)dx 2 总练习题 A??(coskx?sinkx)的傅立叶级数展开式。 1．试求三角多项式T(x)?AB20nmk?1kk2.设f为[-?，?]上可积函数，a0, ak, bk,(k=1,2,…n)为f的傅立叶系数，试证明：当 A0=ak Ak=ak, Bk=bk (k=1,2….,n)时，积分 2??[f(x)?Tn(x)]dx取最小值 ?2?2a且最小值为?[f(x)]dx??[0??(a?b)] k?k2?2n2?k?1上述Tn(x)是第1题中的三角多项式，A0，Ak，Bk 为它的傅立叶系数。 3．设f为以2?为周期，且具有二阶连续可微的函数，证明f的傅立叶级数一致收敛于f. 4. 设f为以2?为周期，且具有二阶连续可微的函数，bn? 若级数 f(x)sinnxdx, ????1??b''n绝对收敛，则 ?bk?1nkn1''?(2??bk). 2k?15.设可积函数?(x)于?（x)满足以下关系： （1）?(?x)??（x) （2）?(?x)???（x) 试问?的傅立叶系数an, bn,与?的傅立叶系数6.设定义在[a,b]上的连续函数列 ?,?nn有什么关系。 ???满足关系 n 0 n?m ??(x)?anbm(x)dx? 1 n=m ban对于在[a,b]上的可积函数f，定义 an??f(x)?(x)dx,n?1,2,..... ??[f?anan?1?2b证明： ?ann?1?2收敛，且有不等式 (x)]dx. 2