发布时间 : 星期日 文章大物习题答案第3章 连续物体的运动更新完毕开始阅读
mgsli?n?解得??gsin? 3l23?m l问题3.2如图3.2所示，有一匀质细杆长度为l，质量为m，可绕其一端的水平轴O在铅垂面内自由转动。当它自水平位置自由下摆到角位置时角加速度有多大？
O
解 杆受到两个力的作用，一个是重力，一个是O轴作用的支撑力。O轴的作用力的力臂为零，故只有重力提供力矩。重力是作用在物体的各个质点上的，但对
l于刚体，可以看作是合力作用于重心。即杆的中心，力臂为d?cos?。杆对O
21轴的转动惯量为ml2。按转动定律有
3图3.2
M?J? 即
解得 ??
3gcos? 2l问题3.3如图3.3所示，一固定光滑斜面上装有一匀质圆盘A作为定滑轮，轮上绕有轻绳（不计质量），绳上连接两重物B和C。已知A、B、C的质量均为m，
轮半径为r，斜面倾角??30。若轮轴的摩擦可忽略，轮子和绳子之间无相对滑动，求装置启动后两重物的加速度及绳中的张力？
图3.3
解 A、B、C构成一个连接体，A轮沿顺时针方向转动，B物体向下运动，C物体沿斜面向上运动。设A的角加速度为?，B、C加速度的大小相等设为a，绳
''T1（T1?T1'）T2（T2?T2'）子中张力的大小在A、B间设为T1、，在A、C间设为T2、。
T1和T2不相等，否则轮A受合力矩将为零，就不可能随绳子运动了，这显然不
符合题意。
对滑轮A，滑轮所受的重力的力心在轴上，轮轴的支撑力也在轴上，它们的力臂均为零，故力矩也为零，所以只有绳子的张力T1和T2提供力矩，按转动定律有
T1r?T2r?12mr? 2对重物B，按牛顿运动定律有 mg?T1'?ma
对重物C，按牛顿运动定律有
?0 m T2'?msgin3 a由于轮子和绳子之间无相对滑动，A轮边缘的切向加速度和B、C加速度的大小
相等，a??a，又按角量与线量关系a??r?有 a?r?
联立以上四个方程可解得
mgmg a?0.2g T1?0.8 T2?0.7
2刚体定轴转动的角动量和动能
单个质点对轴的角动量：L?r?p=r?mυ 单个刚体对轴的角动量：
共轴转动刚体系统的角动量：L??Li??Ji?i
定轴转动刚体的动能归结于质点系的动能，定义为组成刚体的各质点动能之
1和，即 Ek??Eki??mi?i2
2其中?i为第i个质点的速率，mi是它的质量。按角量与线量关系?i?ri?，其中ri为质点到轴的距离，?为刚体转动的角速度，有
11Ek??miri2?2?(?miri2)?2
22由转动惯量的定义可知，其中的?miri2是刚体对定轴的转动惯量J，故有
11转动动能公式是从质点动能公式Ek?m?2推导而来，最终的形式Ek?J?2也
22很象质点动能公式。在公式的推导中我们看到，转动动能采用角量描述比用线量描述方便，这是由于在转动中各质点角速度?相同而线速度?i各不相同的缘故。在已知刚体转动惯量的情况下，上述公式计算刚体的动能是非常方便的，要求大家必须掌握。
3刚体定轴转动的综合应用
在一些刚体定轴转动问题中，会涉及到角动量守恒、机械能守恒的综合应用。下面我们通过一些例题来予以说明。
问题3.4如图3.4所示，一匀质木棒长度l=1m，质量为m1=10kg，可绕其一端的光滑水平轴O在铅垂面内自由转动。初时棒自然下垂，一质量m2=0.05kg的子弹沿水平方向以速度?击入棒下端（嵌入其中），求棒获得的角速度及最大上摆角。
图3.3
解 子弹击入木棒的过程可以看成是绕轴做转动，因此在碰撞过程中可以将子弹和木棒作为一个共轴转动系统来讨论。子弹击入木棒的过程中，轴的支撑力及重力都不提供力矩（力臂为零），故系统对轴O的角动量守恒。击入前只有子弹有角动量
L0?m2?l
击入后设棒获得的角速度为?，棒和子弹整体的转动惯量为
1 J?m1l2?m2l2?3.38kg?m2 (1)
3击入后系统的角动量为 L?J?
由角动量守恒定律有L0?L，即