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第3章 连续物体的运动
一 基本要求
1 理解描写刚体定轴转动的物理量，并掌握角量与线量的关系。 2 理解力矩和转动惯量概念，掌握刚体绕定轴转动的转动定律。
3理解角动量概念，掌握质点在平面内运动以及刚体绕定轴转动情况下的角动量守恒定律。
4理解刚体定轴转动的转动动能概念，能载有刚体绕定轴转动的问题中正确的应用机械能守恒定律。
5了解流体的特点，掌握理想流体的概念。 6掌握理想流体的连续性方程和伯努利方程。 7了解伯努利方程的应用。 二 基本概念
1连续介质 在宏观力学的范围内如果能忽视物体内部的不连续性，把物体看作质量连续分布的质点系。
2刚体 大小和形状的变化可以忽略的连续介质。
3F对定轴Z的力矩：力F的大小与O点到力F的作用线的垂直距离的d（力臂）乘积。
M?Fd?Frsin? 或 M=r×F
4转动惯量 转动惯量是描述刚体在转动中惯性大小的物理量。对于质点系的转动惯量J???miri 。如果物体的质量是连续分布的，上式可写为 J??r2dm 。
i?1n5 质点的角动量 质点m对固定点O的位矢为r，质点m对原点O的角动量为 L?r?p?r?mυ
t26 冲量矩 力矩和作用时间的乘积，记作?Mdt。
t17刚体定轴转动的角动量 L??miri2ω?Jω
i?1n8力矩的功 W??Md? dWMd?9力矩的功率 P???M?
dtdt110刚体的转动动能 Ek＝J?22
11流体 处于液态和气态的物体的统称。特点是物体各部分之间很容易发生相对运动，即流动性。
12理想流体 绝对不可压缩和完全没有黏性的流体。
13定常流动 流体流经空间任一给定点的速度是确定的，并且不随时间变化。在流速较低时定常流动的条件是能够得到满足的。
14流线 为了形象地描述流体的运动, 在流体中画出一系列曲线,使曲线上每一点的切线方向与流经该点流体质点的速度方向相同, 这种曲线称为流线。 15流管 在定常流动中,通过流体中的每一点都可以画一条流线。由流线围成的管状区域, 就称为流管。
16流量 单位时间内流过某一截面的流体体积, 称为流体流过该截面的体积。 三 基本规律
1刚体定轴转动角量与线量的关系??R? a?=R? an= R?2
2转动定律 刚体绕定轴转动时，刚体的角加速度与所受的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比，M?J?。
3相加性原理 对同一转轴而言，刚体总转动惯量等于各部分转动惯量之和。 4平行轴定理 质量为m的刚体对过它质心的轴的转动惯量是Jc,如果有另一轴
与该轴平行，两轴之间的距离为d,那么刚体对Z'O轴的转动惯量为
Jo?Jc?md2
5质点的角动量定理 对同一参考点，质点所受的冲量矩等于质点角动量的增量
t2?Mdt?Lt12?L1
6质点的角动量守恒定律 当质点所受的对参考点的合外力矩为零时，质点对参考点的角动量为一恒矢量。
7刚体定轴转动的角动量定理 作用在刚体上的冲量矩等于刚体角动量的增量。
tL0t0?Mdt??dL?L?L
L08刚体定轴转动的角动量守恒定律 当刚体所受的的合外力矩为零，或者不受合外力的作用，刚体的角动量保持不变。
9刚体绕定轴转动的动能定理 合外力矩对绕定轴转动的刚体所作的功，等于刚
112体的转动动能的增量，即W＝J?2－J?022 。
10理想流体的连续性方程 理想流体作定常流动时, 流体的速率与流管截面积的乘积是一个恒量, s? = 恒量。
111伯努利方程 作定常流动的理想流体p???2??gy?恒量2
四 难点解析与问题讨论 1转动定律的应用
刚体定轴转动定律的应用与牛顿运动定律的应用相似。牛顿运动定律应用的基础是受力解，而对于转动定律的应用，则不仅要进行受力解，还要进行力矩解。按力矩解可用转动定律列出刚体定轴转动的动力学方程并求解出结果。 在刚体
定轴转动定律的应用中还常常涉及到与牛顿运动定律的综合。题目的复杂性相对较大，这也是大家注意的问题。
问题3.１如图3.1所示，一轻杆（不计质量）长度为2l，两端各固定一小球，A球质量为2m，B球质量为m，杆可绕过中心的水平轴O在铅垂面内自由转动，求杆与竖直方向成?角时的角加速度。
图3.1
解 轻杆连接两个小球构成一个简单的刚性质点系统。系统运动形式为绕O轴的转动，应该用转动定律求解
M?J? （1）
先解系统所受的合外力矩。系统受外力有三个，即A、B受到的重力和轴的支撑作用力。轴的作用力对轴的力臂为零，故力矩为零，系统只受两个重力矩作用。以顺时针方向作为运动的正方向，则A球受力矩为正，B球受力矩为负，两个重力的力臂相等为d?lsin?，故合力矩
M?2mglsin??mglsin??mglsin? (2) 系统的转动惯量为两个小球（可看作质点）的转动惯量之和
2 J?2ml2?ml2?3ml (3)
将（2）（3）式代入（1）式 有