发布时间 : 星期五 文章求二元函数极限地几种方法更新完毕开始阅读
实用标准文案
所以， limsin(xy)xy?lim?limy?a.
x?0x?0xy?axy?ay?a 2.5 利用无穷小量与有界量的乘积仍为无穷小量的结论
11 例8 求 lim(3x?y)sincos
x?0xyy?011 解: 因为 lim(3x?y)?0 是无穷小量， sincos?1 是有界量 ，
x?0xyy?011故可知 ，lim(3x?y)sincos?0.
x?0xyy?0(x?3)2(y?2) 例9 求 lim
x?3(x?3)2?(y?2)2y?2 解 原式=lim(x?3)(y?2)?(x?3)
x?3(x?3)2?(y?2)2y?2(x?3)(y?2)(x?3)2?(y?2)21因为 是有界量，又 ??22(x?3)2?(y?2)22?2?(x?3)?(y?2)??lim(x?3)?0 是无穷小量，
x?3y?2(x?3)2(y?2)?0 . 所以 ， limx?3(x?3)2?(y?2)2y?2虽然这个方法计算实际问题上不那么多用，但计算对无穷小量与有界量的乘积形式的极限的最简单方法之一 .
2.6利用变量替换法
通过变量替换可以将某些二元函数的极限转化为一元函数的极限来计算，
精彩文档
实用标准文案
从而使二元函数的极限变得简单.但利用时一定要满足下面的定理。
定理：函数f?x,y?点?x0,y0?的取心领域内有定义的且cosa、cosb沿向量
?x?x0,若二元函数的极限lim?x0?tcosa,y0?tcosb??A,则 y?y0?的方向余弦，
t?01?若A的值与a、b无关，则
?x,y???x0,y0??x,y???x0,y0?limf?x,y??A； f?x,y?不存在；
2?若A的值与a、b有关，则
x???y???lim 例10 求 lim(x2?y2)e?(x?y)
22?(x?y)解 lim(x?y)ex???y????(x?y)2x2?y2??lim?x?y?2 2?x???ex?2xy?y?y????x2?y2?1 ，令 x?y?t，显然满足定理的条件，则因 x?0,y?0时，22x?2xy?y(x?y)2t22t222?(x?y)lim(x?y)e?0 . lim?lim?lim?lim?0，所以 ，x?ytttx???x???t???t???t???eeeey???y??? 例11 求极限limx?0y?01?cosx2?y2tan?x2?y2?
u?limx2?y2?0显然满足定理的条件，则 解：令u?x2?y2 又limx?0x?0y?0y?0limx?0y?01?cosx2?y2tan?x2?y2??lim1?cosusinu1sinu122?lim?lim??cosu? u?0tanu2u?02usec2u2u?02u2
2.7 利用夹逼准则
二元函数的夹逼准则：设在点P0(x0,y0)的领域内有
h(x,y)?f(x,y)?g(x,y)，且
(x,y)?(x0,y0)limh(x,y)?(x,y)?(x0,y0)limg(x,y)?A（常数），
精彩文档
实用标准文案
则
(x,y)?(x0,y0)limf(x,y)?A . 但要注意求二元函数极限时是对两个变量同时放缩．
x2?y2例12 求 lim
x?0x?yy?0x2?y2(x?y)解: 因为 0???x?y?0(x?0,y?0) ，由夹逼准
x?yx?yx2?y2?0 . 则，得 limx?0x?yy?0sin(x2y)例13 求极限lim2．
x??x?y2y??2sin(x2y)1?解: 0?2， 222x?yx?y又
lim1?0，
x??x2?y2y??故
sin(x2y) lim2=0．
x??x?y2y??2.8 先估计后证明法
此方法的运用往往是先通过观察推断出函数的极限，然后用定义证明.
x2y2例14 求函数f(x,y)?2在点(0,0)处的极限.
x?y2解: 此例分2部考虑：
精彩文档
实用标准文案
先令y?kx，考虑f(x,y)沿y?kx(x,y)?(0,0)时的极限，
x4k2x4k2k22limf(x,y)?lim2?lim2?limx??0 .因为路径y?kx为2x?0x?0x?x2k2x?0x(1?k2)x?01?ky?kx特殊方向，因此我们还不能判断出极限为0.所以下面用定义检验极限是否为
0： 因为
xy?2xyxy?(x2?y2)x2y2x2y2f(x,y)?0?2?0?2??2222x?yx?y2(x?y)2(x2?y2)?xy1?x?0?y?0 22于是，???0,取??2??0,?(x,y):x?0??,y?0??且
x2y2x2y21?22??0. ?0????=???，所以lim2222x?0x?y2x?y22y?0xy2例15.求f?x,y??2在?0,0?的极限.
x?y4xy2解：若函数f?x,y??2中动点p?x,y?沿直线y?kx趋于原点?0,0?， 4x?yxy2xy2xk2x2x3k2?lim?lim2?lim2?0 则limx?ox?k4x4x?ox1?k4x2?x,y???0,0?x2?y4?x,y???0,kx?x2?y4??xy2即函数f?x,y??2中动点p?x,y?沿着无穷多个方向趋于原点时，它的极4x?y限为0；但根据这个我们不能说它的极限为0；由于动点p?x,y?沿着其它的路径，比如沿抛物线y?x趋于原点时，其极限为xy2x21xy2xy2?lim?lim2?从而判断出lim不lim2424x?0x?x2x,y?0,0?x,y???0,0?x2?y4?????x,y???0,x?x?y2x?y精彩文档