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（3） 注意：切线和切线长是两个完全不同的概念，必须弄清楚切线是直线，是不能度
量的；切线长是一条线段的长，这条线段的两个端点一个是在圆外一点，另一个是切点。
知识点四 三角形的内切圆和内心 (1)
三角形的内切圆定义：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。这个三角
形叫做圆的外切三角形。 (2) (3)
三角形的内心：三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心。
注意：三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，所以当三角形的内心已知时，
过三角形的顶点和内心的射线，必平分三角形的内角。 24.2.3 圆和圆的位置关系 知识点一 圆与圆的位置关系 （1） 圆与圆的位置关系有五种：
① 如果两个圆没有公共点，就说这两个圆相离，包括外离和内含两种； ② 如果两个圆只有一个公共点，就说这两个圆相切，包括内切和外切两种； ③ 如果两个圆有两个公共点，就说这两个圆相交。 （2） 圆与圆的位置关系可以用数量关系来表示：
若设两圆圆心之间的距离为d，两圆的半径分别是r1 r2,且r1 ＜ r2，则有
两圆外离 d＞r1+r2 两圆外切 d=r1+r2 两圆相交 r2-r1＜d＜r1+r2 两圆内切 d=r2-r1 两圆内含 d＜r2-r1 24.3 正多边形和圆
知识点一 正多边形的外接圆和圆的内接正多边形
正多边形与圆的关系非常密切，把圆分成n（n是大于2的自然数）等份，顺次连接各
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分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。 正多边形的中心：一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。 正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径。
正多边形的中心角：正多边形每一条边所对的圆心角叫做正多边形的中心角。 正多边形的边心距：中心到正多边形一边的距离叫做正多边形的边心距。 知识点二 正多边形的性质
（1） 正n边形的半径和边心距把正多边形分成2n个全等的直角三角形。
（2） 所有的正多边形都是轴对称图形，每个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都
经过正n边形的中心；当正n边形的边数为偶数时，这个正n边形也是中心对称图形，正n边形的中心就是对称中心。 （3） 正n边形的每一个内角等于24.4 弧长和扇形面积 知识点一 弧长公式l=
n?R 180(n?2)?180?360?，中心角和外角相等，等于。 nn在半径为R的圆中，360°的圆心角所对的弧长就是圆的周长C=2πR，所以n°的圆心角所对的弧长的计算公式l=知识点二 扇形面积公式
在半径为R的圆中，360°的圆心角所对的扇形面积就是圆的面积S=πR2，所以圆心角
n?R2为n°的扇形的面积为S扇形=。
360nn?R×2πR=。 360180比较扇形的弧长公式和面积公式发现：
n?R2n?R111??R?lR,所以s扇形?lR S扇形=360180222知识点三 圆锥的侧面积和全面积
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圆锥的侧面积是曲面，沿着圆锥的一条母线将圆锥的侧面展开，容易得到圆锥的侧面展开图是一个扇形。设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，那么这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2πr，因此圆锥的侧面积s圆锥侧??2?r?l??rl。圆锥的全面积为
12s圆锥全?s圆锥侧?s底??rl??r2。
25.1 随机事件与概率 25.1.1 随机事件
知识点一 必然事件、不可能事件、随机事件
在一定条件下，有些事件必然会发生，这样的事件称为必然事件；相反地，有些事件必然不会发生，这样的事件称为不可能事件；在一定条件下，可能发生也可能不会发生的事件称为随机事件。
必然事件和不可能事件是否会发生，是可以事先确定的，所以它们统称为确定性事件。 知识点二 事件发生的可能性的大小
必然事件的可能性最大，不可能事件的可能性最小，随机事件发生的可能性有大有小。不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同。 25.1.2 概率 知识点 概率
一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的概率，记作P（A）。
一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率P（A）=≤m≤n，因此0≤
m≤1，因此 0≤P（A）≤1. nm。由m和n的含义可知0n当A为必然事件时，P（A）=1；当A为不可能事件时，P（A）=0.
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25.2 用列举法求概率 知识点一 用列举法求概率
一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率P（A）=知识点二 用列表发求概率
当一次试验要涉及两个因素并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常用列表法。
列表法是用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法。 知识点三 用树形图求概率
当一次试验要涉及3个或更多的因素时，列方形表就不方便了，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图。树形图是反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，并求出概率的方法。
（1） 树形图法同样适用于各种情况出现的总次数不是很大时求概率的方法。 （2） 在用列表法和树形图法求随机事件的概率时，应注意各种情况出现的可能性务
必相同。
25.3 用频率估计概率 知识点
在随机事件中，一个随机事件发生与否事先无法预测，表面上看似无规律可循，但当我们做大量重复试验时，这个事件发生的频率呈现出稳定性，因此做了大量试验后，可以用一个事件发生的频率作为这个事件的概率的估计值。 一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率
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m。 nm稳定于某一个常数P，那么事n