发布时间 : 星期二 文章中考数学专题讲解 知识点35 相似、位似及其应用2019更新完毕开始阅读
(2)由（1）可知：BD=ADAD=8，∴AB=
2
CD.∵CD=6,AD=8，∴BD=43,又
2AD?BD?8?4322??2?4，∴AB=
1AD，∴∠ADB =30°，∠BDC=∠ABD=30°，又∠2ABD=∠BCD =90°，∴∠A=∠DBC =60°，∵BM∥CD，∴∠BDC=∠MBD =30°，∠ABM =∠ABD-∠MBD =60°，∴△ABM是等边三角形，故BM=AB=4， ∵△ABD∽△BCD，∴
ABDBAB?CD4?6，∴BC=∵BM∥CD，∴∠CBM =180°-∠BCD =90°，??=23，
DBBCCD432∴CM=BM?CB?4?2322??2?27，∵BM∥CD，∴△BMN∽△DCN，∴
47． 5MNMB42???， CNCD63∴CN=1.5MN，又CN+MN=CM=27，∴MN=
7.（2019·乐山）在△ABC中，已知D是BC边的中点，G是△ABC的重心，过G点的直线分别交AB、AC于点E、F. （1）如图①，当EF∥BC时，求证：
BECF??1； AEAF（2）如图②，当EF和BC不平行，且点E、F分别在线段AB、AC上时，（1）中的结论是否成立？如果成
立，请给出证明；如果不成立，请说明理由. （3）如图③，当点E在AB的延长线上或点F在AC的延长线上时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请给
出证明；如果不成立，请说明理由.
AAAEGEBGFCBGEDFBCDCFD
① ② ③
解：（1）?G是△ABC重心，?DG1?, AG2又?EF∥BC,?BEDG1CFDG1BECF11??,??, 则????1. AEAG2AFAG2AEAF22（2）（1）中结论成立，理由如下：如图，过点A作AN∥BC交EF的延长线于点N，
FE、CB的延长线相交于点M，则
BEBMCFCM??，， AEANAFAN?BECFBMCMBM?CM????， AEAFANANAN又?BM?CM?BM?CD?DM， 而D是BC的中点，即BD?CD，
?BM?CM?BM?BD?DM?DM?DM?2DM， ?
ANBECF2DMDMDG1BECF1????，???2??1，故结论成立； ， 又?AEAFANANAG2AEAF2FEMBDGC
（3）（1）中结论不成立，理由如下：当F点与C点重合时，E为AB中点，BE?AE, 点F在AC的延长线上时,BE?AE,?BEBECF?1,则??1， 同理：当点E在AB的延长线上时，AEAEAFBECF??1， ∴结论不成立. AEAF
8.（2019·达州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，BC=3.
（1）尺规作图：不写作法，保留作图痕迹. ①作∠ACB的平分线，交斜边AB于点D； ②过点D作BC的垂线，垂足为E.
（2）在（1）作出的图形中，求DE的长.
解：
CEBA（1）
D
（2）解：∵DE⊥AC，∠ACB=90° ∴ DE∥AC
∴∠ACD=∠CDE ∵CD平分∠ACB ∴∠ACD=∠DCE ∴∠DCE=∠CDE ∴ED=EC ∵DE∥AC
∴△BED∽△BCA ∴
DEBE? ACBC设ED=EC=x，则BE=3-x
x3?x? 23.
解得：x=
6 5.
6 5.
∴DE的长为
9.（2019·潍坊）如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连接DG，过点A作AH∥DG，交BG于点H，连接HF，AF，其中AF交EC于点M． （1）求证：△AHF为等腰直角三角形． （2）若AB=3，EC=5，求EM的长．
解：（1）证明：∵AD∥CG，AH∥DG ∴四边形ADGH为平行四边形． ∴AD=HG． ∵AD=BC， ∴BC=HG
∴BC+CH=GH+HC 即BH=CG ∴GF=BH
在△ABH和△HGF中
AB=HG∠B=∠HGFBH=GF ∴△ABH≌△HGF
∴∠BAH=∠GHFAH=HF ∵∠BAH+∠BHA=90° ∴∠AHF=90°
∴△AHF为等腰直角三角形． （2）∵AB=3，EC=5 ∴AD=CD=3，CE=EF=5 ∴DE=2 ∵AD∥EF ∴
DMAD3?? EMEF5585． 4∴EM=DE=
10.(2019·泰安)在矩形ABCD中,AE⊥BD于点E,点P是边AD上一点. (1)若BP平分∠ABD,交AE于点F,如图①,证明四边形AGFP是菱形 (2)若PE⊥EC,如图②,求证：AE?AB?DE?AP; (3)在(2)的条件下,若AB＝1,BC＝2,求AP的长.
解：(1)∵BP平分∠ABD,PF⊥BD,PA⊥AB,∴AP＝PF,∠ABP＝∠GBE,又∵在Rt△ABP中,∠APB+∠ABP＝90°,在Rt△BGE中∠GBE+∠BGE＝90°,∴∠APB＝∠BGE,又∵∠BGE＝∠AGP,∴∠APB＝∠AGP,∴AP＝AG,∴AG＝PF,∵PF⊥BD,AE⊥BD,∴PF∥AG,∴四边形AGFP是平行四边形,∴?AGFP是菱形;
(2) ∵AE⊥BD,PE⊥EC,∴∠AEP+∠PED＝90°,∠CED+∠PED＝90°,∴∠AEP＝∠CED,又∵∠PAE+∠ADE＝90°,∠CDE+∠ADE＝90°,∴∠PAE＝∠CDE,∴△AEP∽△DEC,∴AB,∴AE?AB?DE?AP;
(3) ∵AB＝1,BC＝2,∴在Rt△ADE中, tan?ADB?
AEAP,∴AE?CD?DE?AP,又∵CD＝?DECDAEAB1APAE111?=,由(2)知?=,∴AP=CD=. DEAD2CDDE222