发布时间 : 星期三 文章中考数学专题讲解 知识点35 相似、位似及其应用2019更新完毕开始阅读
∵△DHE≌△EKF．∴KE＝DH＝2，∴KF＝HE＝14－2t． ∵MC＝FK，∴14－2t＝10，t＝2． ∵GN＝EC＝2，GN∥EC，
∴四边形GECN是平行四边形． 而∠ACB＝90°，
∴四边形GECN是矩形． ∴∠EGN＝90°．
∴当EC＝2时，有∠DGE＝90°．
ADBHNKECMF答图4G
Ⅲ）当∠EDG＝90°时，如答图5．
过点G，F分别作AC的垂线，交射线AC于点N，M，过点E作EK⊥FM于点K，过点D作GN的垂线，交NG的延长线于点P．
则PN＝HC＝BC－HB＝12．
设GN＝t，则FM＝2t，∴PG＝PN－GN＝12－t． 由△DHE≌△EKF可得FK＝2， ∴CE＝KM＝2t－2．
∴HE＝HC－CE＝12－（2t－2）＝14－2t， ∴EK＝HE＝14－2t，
AM＝AC＋CM＝AC＋EK＝14＋14－2t＝28－2t，．
1AM＝14－t，NC＝MN－CM＝t． 2∴PD＝t－2．
PGPD12?tt?2由△GPD∽△DHE可得＝，即＝，
14?2tHDHE2∴MN＝
解得t1＝10－14，t2＝10＋14（舍去）， ∴CE＝2t－2＝18－214．
所以，CE的长为6＋22，6－22，2或18－214. APDGNCMBHEFK答图5
5.（2019·自贡）（1）如图1，E是正方形ABCD边AB上一点，连接BD、DE，将∠BDE绕点D逆时针旋转90°，旋转后角的两边分别与射线BC交于点F和点G. ①线段DB和DG的数量关系是；
②写出线段BE，BF和DB之间的数量关系.
（2）当四边形ABCD是菱形，∠ADC=60°，点E是菱形ABCD边AB所在直线上一点，连接BD、DE，将∠BDE绕点D逆时针旋转120°，旋转后角的两边分别与射线BC交于点F和点G.
①如图2，点E在线段AB上时，请探究线段BE、BF和BD之间的数量关系，写出结论并给出证明；
②如图3，点E在线段AB的延长线上时，DE交射线BC于点M，若BE=1,AB=2，直接写出线段GM的长度.
解：（1）①答案：DB=DG.
∵∠BDE绕点D逆时针旋转90°得到∠GDF, ∴∠EDF=∠GDB=90°，∠BDE=∠GDF， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠DBC=∠DBA=2∠ABC=45°. ∵∠BDG=90°， ∴∠DBG=∠G=45°. ∴DB=DG.
②线段BE，BF和DB关系为：BF+BE=√2BD，理由如下： ∵∠EDB=∠FDG，DB=DG,∠DBE=∠G， ∴△EDB≌△FDG. ∴BE=GF.
故答案为DB=DG.
在Rt△BDG中，∵∠DBG=45°， ∴cos∠DBG=BG=
BD
√2, 21
即BG=√2BD，
又∵BG=BF+FG=BF+BE,
∴BF+BE=√2BD.
（2）线段BE，BF和DB关系为：BF+BE=√3BD，理由如下： ∵∠BDE绕点D逆时针旋转120°得到∠GDF,
∴∠EDF=∠GDB=120°，∠BDE=∠GDF， ∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABC=∠ADC=60°，BD平分∠ABC, ∴∠EBD=∠DBG=2∠ABC=30°， ∴∠G=180°-∠DBG-∠BDG=30°， ∴∠G=∠DBG， ∴BD=GD，
∵∠EDB=∠FDG，DB=DG,∠DBE=∠G， ∴△DBE≌△DGF, ∴BE=GF,
∴BG=BF+GF=BF+BE. 过D作DH⊥BG于H，
1
又∵DB=DG, ∴BH =2BG，
在Rt△BDH中，∠DBG=30°， ∴cos∠HBD=BD=∴BH=BD, 又∵BH =BG，
21√32
BH
√3, 2
1
∴BG=√3BD.
又∵BG=BF+BE， ∴BF+BE=√3BD. （2）GM=3，理由如下：
由旋转可知，∠BDF=1200，
又∵∠ABC=600，四边形ABCD为菱形， ∴∠CDB=∠CBD=2∠ABC=300，
∴∠FDC=∠BDF-∠BDC=900，
在Rt△CDF中，∠DCF=1800-∠BCD=600， ∴FC=??????∠DCF=1=4.
219
1
????2
∵AB∥CD，
∴△CDM∽△BEM， ∴????=????=1，
????
????
2
∴CM=????=. 3
3
24
由（2）可知，△BDE≌△FDG， ∴GF=BE=1.
∴GM=FG+FC+CM=1+4+=.
3
3419
6.（2019·凉山）如图，∠ABD=∠BCD =90°，DB平分∠ADC，过点B作BM∥CD交AD于M．连接CM交DB于N．
2
（1）求证：BD =AD·CD；
（2）若CD=6，AD=8，求MN的长．
解：（1）证明：∵BD平分∠ADC，∴∠ADB=∠BDC，∵∠ABD=∠BCD=90°，∴△DAB∽△DBC，
∴
BDAD2
=,∴BD=ADCDBDCD.