发布时间 : 星期三 文章2021版高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形第6讲正弦定理和余弦定理第1课时正弦定理和余弦定理教案文新更新完毕开始阅读
第6讲 正弦定理和余弦定理
第1课时 正弦定理和余弦定理
一、知识梳理
1.正弦定理和余弦定理 定理 正弦定理 ===2R sin Asin Bsin C(R为△ABC外接圆半径) (1)a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C; 变形 (2)a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C; (3)asin B=bsin A,bsin C=csin B,asin 余弦定理 abca2=b2+c2-2bccos A; b2=c2+a2-2cacos B; c2=a2+b2-2abcos C b2+c2-a2cos A=; 2bcc2+a2-b2cos B=; 2caa2+b2-c2cos C= 2ab内容 C=csin A 2.△ABC的面积公式 1
(1)S△ABC=a·h(h表示边a上的高).
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(2)S△ABC=absin C=acsin B=bcsin A.
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(3)S△ABC=r(a+b+c)(r为内切圆半径).
23.三角形解的判断
图形 A为锐角 A为钝角或直角 关系式 解的 个数 bsin Ab 一解 [注意] 上表中A为锐角时,a A为钝角或直角时,a=b,a 常用结论 1.三角形内角和定理 在△ABC中,A+B+C=π; 变形: A+BπC2 =-. 22 2.三角形中的三角函数关系 (1)sin(A+B)=sin C. (2)cos(A+B)=-cos C. (3)sin(4)cos A+BA+B=cos . 22=sin . 22 CC3.三角形中的射影定理 在△ABC中,a=bcos C+ccos B; b=acos C+ccos A; c=bcos A+acos B. 二、习题改编 1.(必修5P10B组T2改编)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c若c A,则△ABC为( ) A.钝角三角形 C.锐角三角形 答案:A 2.(必修5P10A组T4改编)在△ABC中,AB=5,AC=3,BC=7,则∠BAC=( ) A.C.π 62π 3 B.π 3 B.直角三角形 D.等边三角形 5πD. 6 解析:选C.因为在△ABC中,设AB=c=5,AC=b=3,BC=a=7,所以由余弦定理得 b2+c2-a29+25-4912π cos∠BAC===-,因为∠BAC为△ABC的内角,所以∠BAC=.故 2bc3023 选C. 3.(必修5P3例1改编)在△ABC中,A=60°,AC=4,BC=23,则△ABC的面积等于 . 解析:设△ABC中,角A,B,C对应的边分别为a,b,c,由题意及余弦定理得cos Ab2+c2-a2c2+16-12111===,解得c=2.所以S=bcsin A=×4×2×sin 60°=23. 2bc2×4×c222 答案:23 一、思考辨析 判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.( ) (2)在△ABC中,若sin A>sin B,则A>B.( ) (3)在△ABC中的六个元素中,已知任意三个元素可求其他元素.( ) 答案:(1)× (2)√ (3)× 二、易错纠偏 常见误区(1)利用正弦定理求角,忽视条件限制出现增根; (2)不会灵活运用正弦、余弦定理. 1.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知C=60°,b=6,c=3,则A= . 解析:由题意:=,即sin B= sin Bsin C=45°,则A=180°-B-C=75°. 答案:75° bcbsin C=c6×3 32 = 2 ,结合b<c可得B2 1 2.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=2,cos C=-,3sin A= 42sin B,则c= . 3 解析:由3sin A=2sin B及正弦定理,得3a=2b,所以b=a=3. 2 a2+b2-c2 由余弦定理cos C=, 2ab12+3-c得-=,解得c=4. 42×2×3答案:4 利用正弦、余弦定理解三角形(师生共研) (1)(2019·高考全国卷Ⅰ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知asin 1bA-bsin B=4csin C,cos A=-,则=( ) 4c2 2 2 A.6 C.4 B.5 D.3 (2)(2020·济南市学习质量评估)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2c+a=2bcos A. ①求角B的大小; ②若a=5,c=3,边AC的中点为D,求BD的长. 【解】 (1)选A.由题意及正弦定理得,b-a=-4c,所以由余弦定理得,cos A= 2 2 2 b2+c2-a2-3c21b==-,得=6.故选A. 2bc2bc4c(2)①由2c+a=2bcos A及正弦定理, 得2sin C+sin A=2sin Bcos A, 又sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B, 所以2sin Acos B+sin A=0, 1因为sin A≠0,所以cos B=-, 22π 因为0<B<π,所以B=. 3 ②由余弦定理得b=a+c-2a·ccos∠ABC=5+3+5×3=49,所以b=7,所以AD7=. 2 2 2 2 2 2 b2+c2-a249+9-2511 因为cos∠BAC===, 2bc2×7×314 4971119222 所以BD=AB+AD-2·AB·ADcos∠BAC=9+-2×3××=, 42144所以BD= 19 . 2 (1)正、余弦定理的选用 ①利用正弦定理可解决两类三角形问题:一是已知两角和一角的对边,求其他边或角;二是已知两边和一边的对角,求其他边或角; ②利用余弦定理可解决两类三角形问题:一是已知两边和它们的夹角,求其他边或角;二是已知三边求角.由于这两种情形下的三角形是唯一确定的,所以其解也是唯一的. (2)三角形解的个数的判断 已知两角和一边,该三角形是确定的,其解是唯一的;已知两边和一边的对角,该三角形具有不唯一性,通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断.