发布时间 : 星期日 文章吉林省长春市普通高中2020届高三数学上学期质量监测试题（一）理更新完毕开始阅读
已知函数f(x)＝(x－1)lnx，g(x)＝x－lnx－(I)求函数f(x)的单调区间；
3。 e1。 e(II)令h(x)＝mf(x)＋g(x)(m>0)两个零点x1，x2(x1
(二)选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分。
22.(本小题满分10分)选修4－4坐标系与参数方程
??x?1??在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为??y?2???2t2(t为参数)，以坐标原点O为2t22
极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ－4ρcosθ＝3。 (I)求直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；
(II)直线l与圆C交于A，B两点，点P(1，2)，求|PA|·|PB|的值。 23.(本小题满分10分)选修4－5不等式选讲 己知函数f(x)＝|x＋3|－|x－1|。 (I)解关于x的不等式f(x)≥x＋1；
(II)若函数f(x)的最大值为M，设a>0，b>0，且(a＋1)(b＋l)＝M，求a＋b的最小值。
长春市2020届高三质量监测（一）
数学（理科）试题参考答案及评分参考
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1. B 2. C 3. C 4. C 5. D 6. A
7. D 8. A 9. C 10. B 11. C 12. C 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，16题第一空2分，第二空3分，共20分）
13. 112 14. 2 15. 20?
16.
12nn，(?1)?
n(n?1)2n?1三、解答题
17. (本小题满分12分)
【命题意图】本题考查三角函数的相关知识，特别是三角函数中的取值范围问题. 【试题解析】解：（Ⅰ）由题可知sinA?sinB? 由a?b，可得A?B?sinA，即sinB?cosA， cosA
（6分）
?2，即△ABC是直角三角形.
（Ⅱ）?ABC的周长L?10?10sinA?10cosA，L?10?102sin(A? 由a?b可知，
?4)，
?4?A??2，因此
2??sin(A?)?1，即20?S?10?102. 24
（12分）
18. (本小题满分12分)
【命题意图】本题考查立体几何相关知识. 【试题解析】解：（Ⅰ）取PA中点M，连结EM、DM，
EM//CD???CE//DM?? （6分） EM?CD???CE//平面PAD.
??????????????DM?平面PAD??（Ⅱ）以A为原点，以AD方面为x轴，以AB方向为y轴，以AP方向为z轴， 建立uuuruuurCD?(0,?1,0)，CE?(?2,0,2)，
ur平面CDE的法向量为n1?(1,0,1)；
uur平面ABCD的法向量为n2?(0,0,1)；
uruur|n1?n2|2因此cos??. ?|n1|?|n2|2坐标系.
可得D(2,0,0)，C(2,1,0)，P(0,0,4)，B(0,2,0)，E(0,1,2)，
即平面CDE与平面ABCD所成的锐二面角为
?. 4 （12分）
19. (本小题满分12分)
【命题意图】本题考查概率的相关知识.
【试题解析】解：（Ⅰ）该考生本次测验选择题得50分即为将其余4道题无法确定
正确选项的题目全部答对，其概率为P(X?50)?（Ⅱ）设该考生本次测验选择题所得分数为X，
11111 ????.
223336（4分）
则X的可能取值为30，35，40，45，50.
11224 P(X?30)?????223336112211221112112112 P(X?35)?????????????????22332233223322333611221112112111121121111113P(X?40)?????????????????????????2233223322332233223322333611111111112111126P(X?45)?????????????????
22332233223322333611111P(X?50)?????
223336 该考生本次测验选择题所得分数为X的分布列为 35 40 45 50 X 30 4121361 P 3636363636115 选择题所得分数为X的数学期望为EX?. （12分）
320. (本小题满分12分)
【命题意图】本小题考查圆锥曲线中的最值问题等知识. 【试题解析】解：（Ⅰ）由定义法可得，P点的轨迹为椭圆且2a?4，c?1.
x2y2??1. 因此椭圆的方程为43 （4分）
x2y2??1交于点A(x1,y1)，（Ⅱ）设直线l的方程为x?ty?3与椭圆43B(x2,y2)，联立直线与椭圆的方程消去x可得 (3t2?4)y2?63ty?3?0，即y1?y2?1263t?3，. yy?12223t?43t?412?AOB面积可表示为S△AOB?|OQ|?|y1?y2|??3?(y1?y2)2?4y1y2 163t2?33236??3?(2)?42??2?9t2?3t2?4?2?3t2?1 23t?43t?423t?43t?46u6令3t2?1?u，则u≥1，上式可化为?≤3， 2u?3u?3u当且仅当u?3，即t??6时等号成立， 3因此?AOB面积的最大值为3，此时直线l的方程为x??
21. (本小题满分12分)
【命题意图】本小题考查函数与导数的相关知识.
【试题解析】解：（Ⅰ）由题可知f?(x)?lnx?1?6y?3. （12分） 31， xf?(x)单调递增，且f?(1)?0，
当0?x?1时，f?(x)?0，当x≥1时，f?(x)≥0；
因此f(x)在(0,1)上单调递减，在[1,??)上单调递增. （Ⅱ）由h(x)?m(x?1)lnx?x?lnx?由h?(x)?m(1?lnx?)?1? （4分）
3有两个零点可知 e11且m?0可知，
xx当0?x?1时，h?(x)?0，当x≥1时，h?(x)≥0；
3即h(x)的最小值为h(1)?1??0，
e11113m(e?1)?e?2?0， 因此当x?时，h()?m(?1)(?1)??(?1)??eeeeee1可知h(x)在(,1)上存在一个零点；
e3当x?e时，h(e)?m(e?1)?e?1??0，
e可知h(x)在(1,e)上也存在一个零点；
11因此x2?x1?e?，即x1?e?x2?. （12分）
ee
22. (本小题满分10分)
【命题意图】本小题主要考查极坐标与参数方程的相关知识. 【试题解析】解：（Ⅰ）直线l的普通方程为x?y?3?0，
圆C的直角坐标方程为x?y?4x?3?0.
22
（5分）
（Ⅱ）联立直线l的参数方程与圆C的直角坐标方程可得
22222t)?(2?t)?4(1?t)?3?0，化简可得t2?32t?2?0. 222 则|PA|?|PB|?|t1t2|?2. （10分）
(1?
23. (本小题满分10分)
【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识. 【试题解析】（Ⅰ）由题意
?(?x?3)?(1?x),????x??3??4,???????????x??3??f(x)??(x?3)?(1?x),???????3≤x≤1???????2x?2,???????3≤x≤1
?(x?3)?(x?1),??????x?1?4,????????????x?1??当x??3时，?4≥x?1，可得x≤?5，即x≤?5.
当?3≤x≤1时，2x?2≥x?1，可得x≥?1，即?1≤x≤1. 当x?1时，4≥x?1，可得x≤3，即1?x≤3.
综上，不等式f(x)≥x?1的解集为(??,?5]U[?1,3].
（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得函数f(x)的最大值M?4，且ab?a?b?1?4，
a?b2)，当且仅当a?b时“=”成立， 22可得(a?b?2)≥16，即a?b≥2，因此a?b的最小值为2.
即3?(a?b)?ab≤(（10分）