发布时间 : 星期三 文章2020高考精品系列之数学(文)专题11 立体几何解答题(解析版)更新完毕开始阅读
（3）PA∥平面BDE，PA?平面PAC， 且平面PAC∩平面BDE＝DE， 可得PA∥DE， 又D为AC的中点， 可得E为PC的中点，且DEPA＝1，
由PA⊥平面ABC， 可得DE⊥平面ABC， 可得S△BDCS△ABC2×2＝1，
则三棱锥E﹣BCD的体积为DE?S△BDC1×1．
15．【2017年天津文科17】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD⊥平面PDC，AD∥BC，PD⊥PB，AD＝1，
BC＝3，CD＝4，PD＝2．
（Ⅰ）求异面直线AP与BC所成角的余弦值； （Ⅱ）求证：PD⊥平面PBC；
（Ⅲ）求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．
【解答】解：（Ⅰ）如图，由已知AD∥BC，
故∠DAP或其补角即为异面直线AP与BC所成的角． 因为AD⊥平面PDC，所以AD⊥PD． 在Rt△PDA中，由已知，得故
．
，
所以，异面直线AP与BC所成角的余弦值为．
证明：（Ⅱ）因为AD⊥平面PDC，直线PD?平面PDC， 所以AD⊥PD．
又因为BC∥AD，所以PD⊥BC， 又PD⊥PB，所以PD⊥平面PBC．
解：（Ⅲ）过点D作AB的平行线交BC于点F，连结PF， 则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角． 因为PD⊥平面PBC，故PF为DF在平面PBC上的射影， 所以∠DFP为直线DF和平面PBC所成的角． 由于AD∥BC，DF∥AB，故BF＝AD＝1，
由已知，得CF＝BC﹣BF＝2．又AD⊥DC，故BC⊥DC， 在Rt△DPF中，可得
．
所以，直线AB与平面PBC所成角的正弦值为．
1．【2019年湖南省娄底市高三上学期期末】如图1，在直角梯形ABCD中，AB//CD，AB?BC，
AB?2CD?2BC，BD为梯形对角线，将梯形中的?ABD部分沿AB翻折至ABE位置，使?ABE所在平面与原梯形所在平面垂直（如图2）.
（1）求证：平面AED?平面BCE；
（2）探究线段EA上是否存在点P，使EC//平面PBD？若存在，求出【答案】（1）见解析（2）存在点P，且
EP；若不存在说明理由. EAEP1?时，有EC//平面PBD，详见解析 EA3
【解析】
（1）取AB中点F，连结DF，
则DF?BF?FA，故?BDA?90?，
又平面ABCD?平面AEB，且平面ABCDI平面ABE?AB，
BC?AB，BC?平面ABCD，
∴BC⊥平面ABE，又AE?平面ABE，∴BC⊥AE.
又AE?BE，BCIBE?B，∴AE⊥平面BCE，又AE?平面ADE， ∴平面ADE?平面BCE. （2）存在点P，且
EP1?时，有EC//平面PBD， EA3连结AC交BD于Q，由CD//AB知
CQCD1??， QAAB2EP1CQ??又，故CE//PQ，又CE?平面PBD，PQ?平面PBD， PA2QA∴CE//平面PBD.
2．【四川省威远中学2020届高三上学期第一次月考】如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，PO垂直于圆O所在的平面，且PO＝OB＝1.
(1)若D为线段AC的中点，求证：AC⊥平面PDO； (2)求三棱锥P－ABC体积的最大值； (3)若
，点E在线段PB上，求CE＋OE的最小值．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）
【解析】
(1)证明：在△AOC中，因为OA＝OC，D为AC的中点，所以AC⊥DO. 又PO垂直于圆O所在的平面，所以PO⊥AC.
因为DO∩PO＝O，所以AC⊥平面PDO.
(2)解：因为点C在圆O上，所以当CO⊥AB时，C到AB的距离最大，且最大值为1. 又AB＝2，所以△ABC面积的最大值为
.
又因为三棱锥P－ABC的高PO＝1， 故三棱锥P－ABC体积的最大值为
.
(3)解：
在△POB中，PO＝OB＝1，∠POB＝90°， 所以同理
.
，所以PB＝PC＝BC.
在三棱锥P－ABC中，将侧面BCP绕PB旋转至平面BC′P，使之与平面ABP共面，如图所示． 当O，E，C′共线时，CE＋OE取得最小值． 又因为OP＝OB，从而
，所以
垂直平分PB，即E为PB的中点． ，
即CE＋OE的最小值为.
3．【2019年山西重点中学协作体高三暑假联考】如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，
AD?DC?CB?1，ABC?60?，四边形ACFE为矩形，平面ACFE?平面ABCD，CF?1.
（1）求证：BC⊥平面ACFE； （2）求多面体ABCDEF的体积. 【答案】(1) 见解析(2) 3 2