发布时间 : 星期三 文章2020高考精品系列之数学(文)专题11 立体几何解答题(解析版)更新完毕开始阅读
则OE，PO，PE，
△PCD面积为2，可得：2，
即：，解得x＝2，PO＝2．
则VP﹣ABCD（BC+AD）×AB×PO4．
12．【2017年新课标1文科18】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°． （1）证明：平面PAB⊥平面PAD；
（2）若PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，且四棱锥P﹣ABCD的体积为，求该四棱锥的侧面积．
【解答】证明：（1）∵在四棱锥P﹣ABCD中，∠BAP＝∠CDP＝90°， ∴AB⊥PA，CD⊥PD， 又AB∥CD，∴AB⊥PD， ∵PA∩PD＝P，∴AB⊥平面PAD， ∵AB?平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD．
解：（2）设PA＝PD＝AB＝DC＝a，取AD中点O，连结PO， ∵PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，平面PAB⊥平面PAD， ∴PO⊥底面ABCD，且AD，PO，
∵四棱锥P﹣ABCD的体积为，
由AB⊥平面PAD，得AB⊥AD，
∴VP﹣ABCD
，
解得a＝2，∴PA＝PD＝AB＝DC＝2，AD＝BC＝2∴PB＝PC2
，
，PO，
∴该四棱锥的侧面积：
S侧＝S△PAD+S△PAB+S△PDC+S△PBC
＝6+2．
13．【2017年新课标3文科19】如图四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD＝CD． （1）证明：AC⊥BD；
（2）已知△ACD是直角三角形，AB＝BD，若E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四面体
ABCE与四面体ACDE的体积比．
【解答】证明：（1）取AC中点O，连结DO、BO， ∵△ABC是正三角形，AD＝CD， ∴DO⊥AC，BO⊥AC，
∵DO∩BO＝O，∴AC⊥平面BDO， ∵BD?平面BDO，∴AC⊥BD．
解：（2）法一：连结OE，由（1）知AC⊥平面OBD， ∵OE?平面OBD，∴OE⊥AC，
设AD＝CD，则OC＝OA＝1，EC＝EA，
∵AE⊥CE，AC＝2，∴EC2+EA2＝AC2， ∴EC＝EACD，
∴E是线段AC垂直平分线上的点，∴EC＝EA＝CD，
由余弦定理得： cos∠CBD，
即，解得BE＝1或BE＝2，
∵BE＜＜BD＝2，∴BE＝1，∴BE＝ED，
∵四面体ABCE与四面体ACDE的高都是点A到平面BCD的高h， ∵BE＝ED，∴S△DCE＝S△BCE，
∴四面体ABCE与四面体ACDE的体积比为1． 法二：设AD＝CD，则AC＝AB＝BC＝BD＝2，AO＝CO＝DO＝1， ∴BO，∴BO2+DO2＝BD2，∴BO⊥DO，
以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OD为z轴，建立空间直角坐标系， 则C（﹣1，0，0），D（0，0，1），B（0，，0），A（1，0，0），
设E（a，b，c），
，（0≤λ≤1），则（a，b，c﹣1）＝λ（0，
，﹣，1﹣λ）， ∴
（1，
），
（﹣1，
），
∵AE⊥EC，∴1+3λ2+（1﹣λ）2＝0，
由λ∈[0，1]，解得，∴DE＝BE，
∵四面体ABCE与四面体ACDE的高都是点A到平面BCD的高h， ∵DE＝BE，∴S△DCE＝S△BCE，
∴四面体ABCE与四面体ACDE的体积比为1．
1），解得E（0，
14．【2017年北京文科18】如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA＝AB＝BC＝2，
D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．
（1）求证：PA⊥BD；
（2）求证：平面BDE⊥平面PAC；
（3）当PA∥平面BDE时，求三棱锥E﹣BCD的体积．
【解答】解：（1）证明：由PA⊥AB，PA⊥BC，
AB?平面ABC，BC?平面ABC，且AB∩BC＝B，
可得PA⊥平面ABC， 由BD?平面ABC， 可得PA⊥BD；
（2）证明：由AB＝BC，D为线段AC的中点， 可得BD⊥AC，
由PA⊥平面ABC，PA?平面PAC， 可得平面PAC⊥平面ABC， 又平面PAC∩平面ABC＝AC，
BD?平面ABC，且BD⊥AC，
即有BD⊥平面PAC，
BD?平面BDE，
可得平面BDE⊥平面PAC；