发布时间 : 星期三 文章2020高考精品系列之数学(文)专题11 立体几何解答题(解析版)更新完毕开始阅读
专题11立体几何解答题
考纲解读 三年高考分析 1、对于线面关系中的存在性问题，首先假设存在，垂直关系的证明和平行关系的证明是考查的重然后在该假设条件下，利用线面关系的相关定理、点，解题时常用到平行判定定理、垂直判定定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满垂直性质定理、平行性质定理，考查学生的数学足则肯定假设，若得出矛盾的结论则否定假设． 逻辑推理能力、数学运算能力、直观想象能力，对于探索性问题用向量法比较容易入手．一般先假设存在，设出空间点的坐标，转化为代数方程是否有解的问题，若有解且满足题意则存在，若有解但不满足题意或无解则不存在． 2、空间几何体体积问题的常见类型及解题策略 (1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解． (2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解． 题型以选择填空题和解答题为主，中等难度. 1、直线、平面平行的判定及其性质是高考中的重点考查内容，涉及线线平行、线面平行、面面平行的判定及其应用等内容．题型主要以解答题的形式出现，解题要求有较强的推理论证能力，广泛应用转化与化归的思想. 2、直线、平面垂直的判定及其性质是高考中的重点考查内容，涉及线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定及其应用等内容．题型主要以解答题的形式出现，解题要求有较强的推理论证能力，(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视广泛应用转化与化归的思想. 图得到几何体的直观图，然后根据条件求解． 3、空间几何体与球接、切问题的求解方法 (1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解． (2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA， PB，PC两两互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解．
1．【2019年天津文科17】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，△PCD为等边三角
形，平面PAC⊥平面PCD，PA⊥CD，CD＝2，AD＝3．
（Ⅰ）设G，H分别为PB，AC的中点，求证：GH∥平面PAD； （Ⅱ）求证：PA⊥平面PCD；
（Ⅲ）求直线AD与平面PAC所成角的正弦值．
【解答】证明：（Ⅰ）连结BD，由题意得AC∩BD＝H，BH＝DH， 又由BG＝PG，得GH∥PD， ∵GH?平面PAD，PD?平面PAD， ∴GH∥平面PAD．
（Ⅱ）取棱PC中点N，连结DN， 依题意得DN⊥PC，
又∵平面PAC⊥平面PCD，平面PAC∩平面PCD＝PC， ∴DN⊥平面PAC，
又PA?平面PAC，∴DN⊥PA， 又PA⊥CD，CD∩DN＝D， ∴PA⊥平面PCD．
解：（Ⅲ）连结AN，由（Ⅱ）中DN⊥平面PAC， 知∠DAN是直线AD与平面PAC所成角，
∵△PCD是等边三角形，CD＝2，且N为PC中点， ∴DN，又DN⊥AN，
．
在Rt△AND中，sin∠DAN∴直线AD与平面PAC所成角的正弦值为．
2．【2019年新课标3文科19】图1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中
AB＝1，BE＝BF＝2，∠FBC＝60°．将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连接DG，如图2．
（1）证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE； （2）求图2中的四边形ACGD的面积．
【解答】解：（1）证明：由已知可得AD∥BE，CG∥BE，即有AD∥CG， 则AD，CG确定一个平面，从而A，C，G，D四点共面； 由四边形ABED为矩形，可得AB⊥BE， 由△ABC为直角三角形，可得AB⊥BC， 又BC∩BE＝E，可得AB⊥平面BCGE，
AB?平面ABC，可得平面ABC⊥平面BCGE；
（2）连接BG，AG，
由AB⊥平面BCGE，可得AB⊥BG，
在△BCG中，BC＝CG＝2，∠BCG＝120°，可得BG＝2BCsin60°＝2可得AG在△ACG中，AC可得cos∠ACG，
，CG＝2，AG，
，
，
，即有sin∠ACG则平行四边形ACGD的面积为24．
3．【2019年新课标2文科17】如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，
BE⊥EC1．
（1）证明：BE⊥平面EB1C1；
（2）若AE＝A1E，AB＝3，求四棱锥E﹣BB1C1C的体积．
【解答】解：（1）证明：由长方体ABCD﹣A1B1C1D1，可知
B1C1⊥平面ABB1A1，BE?平面ABB1A1，
∴B1C1⊥BE，
∵BE⊥EC1，B1C1∩EC1＝C1， ∴BE⊥平面EB1C1；
（2）由（1）知∠BEB1＝90°，由题设可知RtRt，
∴∠AEB＝∠A1EB1＝45°，∴AE＝AB＝3，AA1＝2AE＝6，
∵在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1∥平面BB1C1C，E∈AA1，AB⊥平面BB1C1C， ∴E到平面BB1C1C的距离d＝AB＝3， ∴四棱锥E﹣BB1C1C的体积V3×6×3＝18．
4．【2019年新课标1文科19】如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点． （1）证明：MN∥平面C1DE； （2）求点C到平面C1DE的距离．
【解答】解法一：