发布时间 : 星期六 文章2019-2020学年湖北省宜昌市高三(上)期末数学试卷(理科)更新完毕开始阅读
2k2?k，2)． ?点N坐标为(22k?12k?11Q线段AB的垂直平分线的斜率为?，
k?k12k2?线段AB的垂直平分线的直线方程为y?2??g(x?2)．
2k?1k2k?1设点M坐标为(xM，yM)
Q点M在直线l:x??2上，即xM??2．
12k2?k5k2?2． ?yM??g(?2?2)?2?k2k?12k?1k(2k2?1)5k2?2?点M坐标为(?2，)．
k(2k2?1)2k25k2?2k2(3k2?1)122?|MN|?(2?2)?(?)?g1?．
2k?1k(2k2?1)2k2?12k2?1k2Q|AB|?1?k2g(x1?x2)2?4x1x2 4k222(k2?1)?1?kg(2)?4g2 2k?12k?1222(k2?1)． ?2k2?12(k2?1)． ?|AN|?2k2?1在Rt?MAN中，tan?MAN?2|MN|?|AN|2(3k2?1)1?122k2?2g(3k?1)．
k2(k2?1)2(k2?1)(3t?1)29t2?6t?1??0． 令t?k，则t?0；令m?t(t?1)t2?t则(m?9)t2?(m?6)t?1?0， 0， △?(m?6)2?4(m?9)?m(m?8)…8． 解得m…?当m?8时，tan?MAN取最小值2g8?4．
(3t?1)2?8，解得t?1．即k??1． 此时
t(t?1)综上所述，可知tan?MAN的最小值为4，此时k??1．
?直线AB的方程为：y?x?1或y??x?1．
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21．（12分）已知函数f(x)?xlnx?ax2(a?0)． （1）当a?1时，求
f(x)的最大值； x（2）若f(x)只有一个极值点x0．
(i)求实数a的取值范围； 1(ii)证明：f(x0)??．
e【解答】解：（1）当a?1时，g?(x)?11?x， ?1?xxf(x)?lnx?x(x?0)，令g(x)?lnx?x(x?0)，则x?g(x)在(0,1)上单调递增，在(1,??)上单调递减， ?g(x)max?g（1）??1，即
f(x)的最大值为?1； x1?2a， x（2）f?(x)?1?lnx?2ax,f??(x)?(i)当a?0时，f??(x)?0在(0,??)上恒成立，则f?(x)在(0,??)上单调递增， 12a又f()???0，当0?x?1时，f?(x)?1?lnx?2ax?1?lnx?2a，
ee1则f?(e2a?1)?0，且e2a?1?，
e?存在x0?(e2a?1,)，使得f?(x0)?0，
?当x?(0,x0)时，f?(x)?0，则f(x)单调递减，
1e?f(x)只有一个极值点x0． 当a?0时，令f??(x)?当x?(0,减，
?f?(x)max?f?(11， ?2a?0，则x?x2a11)时，f??(x)?0，f?(x)单调递增；当x?(,??)时，f??(x)?0，f?(x)单调递2a2a1)??ln2a， 2a11，即a…时，f?(x)?0在(0,??)上恒成立，f(x)在(0,??)上单减，无极值点，舍①当2a…2去；
②当0?2a?1，即0?a?11时，f?()??lna?0， 22a第22页（共24页）
12a11又f()??， ?0，且?eee2a?存在x1?(,11)，使得f?(x1)?0， e2a由（1）知当x?0时，lnx?x?1，则lnx?2lnx?2(x?1)?2x?1，
?f?(x)?1?lnx?2ax?2x?2ax?2x(1?ax)，则f?(?存在x2?(111，且， )?0?a2a22a11,)，使得f?(x2)?0， 2aa2当x?(x1，x2)时，f?(x)?0，f(x)单增；当x?(x2，?当x?(0,x1)时，f?(x)?0，f(x)单减；
??)时，f?(x)?0，f(x)单减， ?f(x)有两个极值点，不合题意， 综上，实数a的取值范围为(??,0)；
(ii)证明：Qf?(x0)?1?lnx0?2ax0?0，
?a?1?lnx01,x0?(e2a?1,)， 2x0e?f(x0)?x0lnx0?ax02?1x0(lnx0?1)， 2令m(x)?111x(lnx?1),x?(e2a?1,)，则m?(x)?lnx?0， 2e21?m(x)在(e2a?1,)上单减，
e?当x?(e2a?1,)时，m(x)?m()??， ?f(x0)?m(x0)??1e1e1e1，即得证． e（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
?3x?1?t??222．（10分）已知曲线C的极坐标方程为??4cos?，直线l的参数方程为?(t为?y?1t??2参数）．
（1）求曲线C的直角坐标方程与直线l的普通方程；
（2）已知点M(1,0)，直线l与曲线C交于A、B两点，求||MA|?|MB||．
【解答】解：（1）曲线C的极坐标方程为??4cos?，转换为直角坐标方程为x2?y2?4x?0．
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?3x?1?t?y3?2直线l的参数方程为?．转换为直角坐标方程为，整理得?(t为参数）
x?13?y?1t??2y?3(x?1)． 3?3x?1?t??2（2）把直线l的参数方程为?(t为参数）代入圆的方程整理为t2?3t?3?0． ?y?1t??2所以t1?t2?3，t1t2??3． ||MA|?|MB||?|t1?t2|?3．
23．已知函数f(x)?|2x?3|?|2x?1|． （1）解不等式：f(x)…6；
（2）设x?R时，f(x)的最小值为M．若正实数a，b，c满足a?b?c?M，求ab?bc?ca的最大值．
【解答】解：（1）当x??16，解得x??1； 时，不等式等价为?2x?3?2x?1…2136，无解； 当??x?时，不等式等价为?2x?3?2x?1…2236，解得x…2； 当x…时，不等式等价为2x?3?2x?1…2综上，不等式的解集为(??，?1]U[2，??)；
（2）由|2x?3|?|2x?1|…|2x?3?2x?1|?4，可得f(x)的最小值为M?4，即a?b?c?4， 2ab，b2?c2…2bc，c2?a2…2ca，可得a2?b2?c2…ab?bc?ca，当且仅当由a2?b2…“a?b?c”时取等号，
所以3(ab?bc?ca)?(a?b?c)2?16，故ab?bc?ca?故ab?bc?ca的最大值为
16． 316，当且仅当“a?b?c”时取等号， 3第24页（共24页）