发布时间 : 星期一 文章2018 - 2019学年高中数学第二讲参数方程二圆锥曲线的参数方程1椭圆的参数方程讲义含解析新人教A版更新完毕开始阅读
1．椭圆的参数方程
椭圆的参数方程
??x＝acos φx2y2
(1)中心在原点，焦点在x轴上的椭圆2＋2＝1(a>b>0)的参数方程是?
ab?y＝bsin φ?
(φ为参数)，规定参数φ的取值范围是[0,2π)．
(2)中心在(h，k)的椭圆普通方程为
?x＝h＋acos φ?
???y＝k＋bsin φ
(x－h)
2
a2
＋
(y－k)
2
b2
＝1，则其参数方程为
(φ为参数)．
椭圆的参数方程的应用：求最值 ??x＝2＋t，
[例1] 已知曲线C：＋＝1，直线l：?
49?y＝2－2t?
x2y2
(t为参数)．
(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；
(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．
[思路点拨] (1)由椭圆的参数方程公式，求椭圆的参数方程，由换元法求直线的普通方程．
(2)将椭圆上的点的坐标设成参数方程的形式，将问题转化为三角函数求最值问题． [解] (1)曲线C的参数方程为?＋y－6＝0.
(2)曲线C上任意一点P(2cos θ，3sin θ)到l的距离为d＝6|.
5
|4cos θ＋3sin θ－5
?x＝2cos θ，?
??y＝3sin θ
(θ为参数)，直线l的普通方程为2xd25
则|PA|＝＝|5sin(θ＋α)－6|，
sin 30°5
4
其中α为锐角，且tan α＝. 3
当sin(θ＋α)＝－1时，|PA|取得最大值， 225
最大值为. 5
25
当sin(θ＋α)＝1时，|PA|取得最小值，最小值为.
5
利用椭圆的参数方程，求目标函数的最大(小)值，通常是利用辅助角公式转化为三角函数求解．
1．已知椭圆＋＝1，点A的坐标为(3,0)．在椭圆上找一点P，使点P与点A的距
2516离最大．
??x＝5cos θ，
解：椭圆的参数方程为?
?y＝4sin θ?
x2y2
(θ为参数)．
设P(5cos θ，4sin θ)，则
|PA|＝(5cos θ－3)＋(4sin θ)＝9cosθ－30cos θ＋25 ＝(3cos θ－5)＝|3cos θ－5|≤8， 当cos θ＝－1时，|PA|最大．
此时，sin θ＝0，点P的坐标为(－5,0).
椭圆参数方程的应用：求轨迹方程 22
2
2
[例2] 已知A，B分别是椭圆＋＝1的右顶点和上顶点，动点C在该椭圆上运动，
369求△ABC的重心G的轨迹方程．
[思路点拨] 由条件可知，A，B两点坐标已知，点C在椭圆上，故可设出点P坐标的椭圆参数方程形式，由三角形重心坐标公式求解．
[解] 由题意知A(6,0)、B(0,3)．由于动点C在椭圆上运动，故可设动点C的坐标为(6cos θ，3sin θ)，点G的坐标设为(x，y)，由三角形重心的坐标公式可得
6＋0＋6cos θx＝，??3
?0＋3＋3sin θ
，??y＝3
x2y2
??x＝2＋2cos θ，
即?
?y＝1＋sin θ.?
2
(x－2)2
消去参数θ得△ABC的重心G的轨迹方程为＋(y－1)＝1.
4
本题的解法体现了椭圆的参数方程对于解决相关问题的优越性，运用参数方程显得很简单，运算更简便．
2．已知椭圆方程是＋＝1，点A(6,6)，P是椭圆上一动点，求线段PA中点Q的轨
169迹方程．
解：设P(4cos θ，3sin θ)，Q(x，y)，则有 4cos θ＋6x＝，??2
?3sin θ＋6??y＝2，
2
x2y2
2
x＝2cos θ＋3，??
即?3
y＝sin θ＋3??2
(θ为参数)，
∴9(x－3)＋16(y－3)＝36即为所求．
x2y2
3．设F1，F2分别为椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的左、右两个焦点．
ab?3?(1)若椭圆C上的点A?1，?到F1，F2的距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标； ?2?
(2)设点P是(1)中所得椭圆上的动点，求线段F1P的中点的轨迹方程．
?3?解：(1)由椭圆上点A到F1，F2的距离之和是4，得2a＝4，即a＝2.又点A?1，?在椭?2?
?3?2??1?2?
2
2
2
2
圆上，因此＋2＝1，得b＝3，于是c＝a－b＝1，所以椭圆C的方程为＋＝1，焦
4b43点坐标为F1(－1,0)，F2(1,0)．
(2)设椭圆C上的动点P的坐标为(2cos θ，3sin θ)，线段F1P的中点坐标为(x，
x2y2
y)，则x＝
2
2
2cos θ－13sin θ＋012y?1?，y＝，所以x＋＝cos θ，＝sin θ.消去θ，得?x＋?222?2?3
4y＋＝1即为线段F1P中点的轨迹方程. 3
椭圆参数方程的应用：证明问题 [例3] 已知椭圆＋y＝1上任一点M(除短轴端点外)与短轴两端点B1，B2的连线分别
4交x轴于P，Q两点，求证：|OP|·|OQ|为定值．
[思路点拨] 利用参数方程，设出点M的坐标，并由此得到直线MB1，MB2的方程，从而得到P，Q两点坐标，求出|OP|，|OQ|，再求|OP|·|OQ|的值．
[证明] 设M(2cos φ，sin φ)，φ为参数，
x22
因为B1(0，－1)，B2(0,1)，
sin φ＋1
则MB1的方程为y＋1＝·x，
2cos φ
2cos φ?2cos φ?.
令y＝0，则x＝，即|OP|＝??sin φ＋1?1＋sin φ?
MB2的方程为y－1＝
sin φ－1
x，
2cos φ
2cos φ
令y＝0，则x＝. 1－sin φ∴|OQ|＝?
?2cos φ?.
?
?1－sin φ?
?2cos φ?·?2cos φ?＝4.
????1＋sin φ??1－sin φ?
∴|OP|·|OQ|＝?
即|OP|·|OQ|＝4为定值．
利用参数方程证明定值(或恒成立)问题，首先是用参数把要证明的定值(或恒成立的式子)表示出来，然后利用条件消去参数，得到一个与参数无关的定值即可．
??x＝acos θ，
4．求证：椭圆?
?y＝bsin θ?
2
2
2
2
(a>b>0,0≤θ≤2π)上一点M与其左焦点F的距离的
最大值为a＋c(其中c＝a－b)．
证明：M，F的坐标分别为(acos θ，bsin θ)，(－c,0)． |MF|＝(acos θ＋c)＋(bsin θ) ＝acosθ＋2accos θ＋c＋b－bcosθ ＝ccosθ＋2accos θ＋a ＝(a＋ccos θ).
∴当cos θ＝1时，|MF|最大，|MF|最大，最大值为a＋c.
2
2
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一、选择题
??x＝acos θ，
1．椭圆?
?y＝bsin θ?
(θ为参数)，若θ∈[0,2π]，则椭圆上的点(－a,0)对应的
θ＝( )
A．π
B.π
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