发布时间 : 星期五 文章2021高考数学(江苏专用)一轮复习学案：第五章 5.2 平面向量基本定理及坐标表示更新完毕开始阅读
本例中条件不变，如何利用向量求线段AB中
点的坐标？
解 设O为坐标原点，P(x，y)是线段AB的中点， →1→→则OP＝(OA＋OB)，
2
13?1
即(x，y)＝[(－2,4)＋(3，－1)]＝??2，2?， 213?所以线段AB中点的坐标为??2，2?.
本例中条件不变，如何利用向量求△ABC的重
心G的坐标？
解 设AB的中点为P，O为坐标原点， →2→因为CG＝CP，
3
→1→2→1→1→→所以OG＝OC＋OP＝OC＋(OA＋OB)，
3333
211→1→→→
－，－?， 所以OG＝(OA＋OB＋OC)＝[(－2,4)＋(3，－1)＋(－3，－4)]＝?3??33321
－，－?. 所以重心G的坐标为?3??3思维升华 平面向量坐标运算的技巧
(1)利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．
(2)解题过程中，常利用“向量相等，则坐标相同”这一结论，由此可列方程(组)进行求解． →→→
跟踪训练2 (1)(2019·大连模拟)已知AB＝(1，－1)，C(0,1)，若CD＝2AB，则点D的坐标为( ) A．(－2,3) C．(－2,1) 答案 D
→→
解析 设D(x，y)，则CD＝(x，y－1)，2AB＝(2，－2)， →→
根据CD＝2AB，得(x，y－1)＝(2，－2)，
???x＝2，?x＝2，即?解得?故选D. ??y－1＝－2，y＝－1，??
B．(2，－3) D．(2，－1)
→(2)(2019·河北省级示范高中联考)在平行四边形ABCD中，A(1,2)，B(－2,0)，AC＝(2，－3)，则点D的坐标为( ) A．(6,1) C．(0，－3) 答案 A
→→→→→
解析 AB＝(－3，－2)，∴AD＝BC＝AC－AB＝(5，－1)，则D(6,1)，故选A.
B．(－6，－1) D．(0,3)
向量共线的坐标表示
命题点1 利用向量共线求参数
例3 (1)(2019·内江模拟)设向量a＝(x,1)，b＝(4,2)，且a∥b，则实数x的值是________． 答案 2
解析 ∵a＝(x,1)，b＝(4,2)，且a∥b， ∴2x＝4，即x＝2.
(2)(2020·海南省文昌中学模拟)已知a＝(1,3)，b＝(－2，k)，且(a＋2b)∥(3a－b)，则实数k＝________. 答案 －6
解析 由题意得a＋2b＝(－3,3＋2k)，3a－b＝(5,9－k)， 由(a＋2b)∥(3a－b)，得－3(9－k)＝5(3＋2k)， 解得k＝－6.
命题点2 利用向量共线求向量或点的坐标
例4 已知O为坐标原点，点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，则AC与OB的交点P的坐标为_____． 答案 (3,3)
解析 方法一 由O，P，B三点共线， →→
可设OP＝λOB＝(4λ，4λ)， →→→
则AP＝OP－OA＝(4λ－4,4λ)． →→→
又AC＝OC－OA＝(－2,6)，
→→
由AP与AC共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0， 3→3→
解得λ＝，所以OP＝OB＝(3,3)，
44所以点P的坐标为(3,3)．
→
方法二 设点P(x，y)，则OP＝(x，y)， xy→→→
因为OB＝(4,4)，且OP与OB共线，所以＝，
44即x＝y.
→→→→
又AP＝(x－4，y)，AC＝(－2,6)，且AP与AC共线， 所以(x－4)×6－y×(－2)＝0，解得x＝y＝3， 所以点P的坐标为(3,3)．
思维升华 平面向量共线的坐标表示问题的解题策略
(1)如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1”．
(2)在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)．
→→→
跟踪训练3 (1)已知向量OA＝(k,12)，OB＝(4,5)，OC＝(－k,10)，且A，B，C三点共线，则实数k的值是( ) 2112A．－ B．－ C. D.
3333答案 A
→→→
解析 AB＝OB－OA＝(4－k，－7)， →→→
AC＝OC－OA＝(－2k，－2)．
→→
∵A，B，C三点共线，∴AB，AC共线， ∴－2×(4－k)＝－7×(－2k)， 2
解得k＝－. 3
(2)(2019·江西省红色七校联考)已知平面向量a＝(－1,2)，b＝(2，y)，且a∥b，则3a＋2b＝________. 答案 (1，－2)
解析 ∵a＝(－1,2)，b＝(2，y)，且a∥b， ∴－1×y－2×2＝0，解得y＝－4，
故可得3a＋2b＝3(－1,2)＋2(2，－4)＝(1，－2)．