发布时间 : 星期六 文章数值分析课后习题答案更新完毕开始阅读
指出：
（1）注意精确度的不同表述。精确到10-3和误差不超过10-3是不同的。 （2）在计算过程中按规定精度保留小数，最后两次计算结果相同。 如果计算过程中取4位小数，结果取3位，则如下表： n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 an 3 3.5000 3.5000 3.6250 3.6250 3.6250 3.6250 3.6250 3.6290 3.6310 3.6310 bn 4 4 3.7500 3.7500 3.6875 3.6563 3.6407 3.6329 3.6329 3.6329 3.6320 xn 3.5000 3.7500 3.6250 3.6875 3.6563 3.6407 3.6329 3.6290 3.6310 3.6320 3.6315 f(xn)的符号 － ＋ － ＋ ＋ ＋ ＋ － － ＋ －
（3）用秦九韶算法计算f(xn)比较简单。 1*．求方程x3-2x2-4x-7=0的隔根区间。 解：令y?x3?2x2?4x?7， 则y??3x2?4x?4?(3x?2)(x?2)
2当y??3x2?4x?4?(3x?2)(x?2)?0时，有x1??,x2?2。
3函数单调区间列表分析如下： 222x 2 (?,2) ? (-∞,?) 333(2,+∞) + y／ y + 0 － 0 －15 ? 149 27
22149?0,y(2)??15?0，所以方程在区间(?,2)上无根； 因为y(?)??332721492?0，而函数在(??,?)上单调增，函数值不可能变号，所以因为y(?)??3273方程在该区间上无根；
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因为y(2)??15?0，函数在(2,+∞)上单调增，所以方程在该区间上最多有一个根，
而(3)=-10<0,y(4)=9>0，所以方程在区间(3,4)有一个根。 所以，该方程有一个根，隔根区间是(3.4)。
12．证明1?x?sinx?0在[0,1]内有一个根，使用二分法求误差不大于?10?42的根，需要迭代多少次？
分析：证明方程在指定区间内有一个根，就是证明相应的函数在指定区间有至少一个零点。
解：令f(x)?1?x?sinx，
因为f(0)?1?0?sin0?1?0,f(1)?1?1?sin1??sin1?0， 则f(0)f(1)?0，
由零点定理，函数f(x)在[0,1]区间有一个根。 由
x*?xn?bn?anb?a1?011?n?n?n??10?4 22222有2n-1＞10000，又为210＝1024，213＝8192<10000，214＝16384>10000 所以n＝15，即需要二分15次。
指出：
要证明的是有一个解而不是唯一解，因此不必讨论单调性。 3．试用迭代公式xk?1?根，要求精确到10?5。
1分析：精确到10?5即误差不超过?10?5
22032x?2x?10x?20?0的，求方程,x?102xk?2xk?10解：令f(x)?x3?2x2?10x?20 列表进行迭代如下： x kf(xk) -7 3.75964 -1.52380 0.70311 -0.30667 0 1 2 3 4 1 1.53846 1.29502 1.40182 1.35421 14
5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
指出：
1.37530 1.36593 1.37009 1.36824 1.36906 1.36870 1.36886 1.36879 1.36882 1.36881 1.36881 0.13721 -0.06067 0.02705 -0.01198 0.00531 -0.00228 0.00110 -0.00038 0.00025 3.992?10?5 3.992?10?5 精确到10?5可以从两个方面判定。第一，计算过程中取小数到10?5位，最后两个计算结果相同，终止计算。第二，计算过程中取小数到10?6，当
1xk?1?xk??10?5终止计算。
2本题采用第一种方法。
4．将一元非线性方程2cosx?ex?0写成收敛的迭代公式，并求其在x0?0.5附近的根，要求精确到10?2。
解：2cosx?ex?0改写为2cosx?ex?2cosx?1，设 xe2cosxg(x)?x??1 xe有 x?x?2cosx2cosx?1??1?0，则 exex22sin(x?)?2sinxe?2cosxe2(sinx?cosx)4 g?(x)?1??1??1?x2xx(e)eexx?在x0?0.5处，因为
g?(0.5)?1?22sin(0.5?e0.5?)4?0.9615?1
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所以迭代法g(xk?1)?xk?列表迭代如下：
0 1 2 3
2cosxk?1在x0?0.5的邻域内收敛。 exkxk 0．5 0．71 0．69 0．69 此时2cos0.69?e0.69?0.00614。
5．为求方程x3?x2?1?0在x0?1.5附近的一个根，设将方程改为下列等价形式，并建立相应的迭代公式：
11(1)x?1?2,迭代公式xk?1?1?2;xxk(2)x?1?x,迭代公式xk?1?(1?x);
32123k(3)x2?1,迭代公式xk?1?x?11(xk?1)12.试分析每种迭代公式的收敛性，并取一种公式求出具有4位有效数字的近似值。
11解：（1）因为x?1?2，所以迭代函数为g(x)?1?2，则
xx122g?(x)?(2)??(x?2)???2x?3，g?(1.5)??2?1.5?3?3??1满足局部
x1.53.375收敛性条件，所以迭代公式xk?1?1?1231具有局部收敛性。 2xk123（2）因为x?(1?x),所以迭代函数为g(x)?(1?x),则
12?1?122323g?(x)?(1?x)2x?x(1?x)?332x3(1?x)223,
g?(1.5)?123k2?1.53(1?1.5)223?0.456?1满足局部收敛性条件,所以迭代公式
xk?1?(1?x)具有收敛性。
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