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三、方程与方程组
无理方程：通过平方、换元求解，最后必须验根有理方程
分式方程：通过去分母、换元求解，最后必须验根。
去分母
去括号
一元一次方程解法 移项
方程 合并同类项
有理方程 系数化为1
整式方程 直接开平方法 一元二次方程解法 配方法
公式法 因式分解法
一元高次方程解法：通过因式分解转化为一元一次方程或一元二次方程
二元一次方程组→ 代入消元法 →一元一次方程
加减消元法 三元一次方程组→ 代入消元法 → 一元一次方程
方程组 加减消元法 二元一次方程组
由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成，用代入法转
化为一元一次方程
二元二次方程组→ 由二个二元二次方程组成，其中一个可以转化为两个二元一次
方程
一元二次方程根的判别式(△=b2-4ac)
△>0 方程有两个不相等的实根 判定 △=O 方程有两个相等的实根 △ (1)不解方程判定方程根的情况 应用 (2)根据系数的性质关系确定根的范围 (3)解与根有关的证明题 内容 x1+x2=-b/a （韦达定理） 一元二次方程根与系数的关系 x1x2=c/a 已知一根求另一根 运用 已知两根求做方程 不解方程求与两根有关的代数式的值 已知两数的和与积，求这两个数 9 (1)审题，设未知数 (2)列代数式 步骤 (3)列方程(组) 列方程解应用题 (4)解方程(组) (5)检验 (6)作答 (1)行程问题 (2)工程问题 (3)数字问题 常见类型 (4)增长率问题 (5)利润、利润率问题 (6)利息问题 (7)面积、体积问题 (8)浓度问题 (9)其他问题 一元一次方程：已知未知要分离，分离方法就是移，加减移项要变号，乘除移了要颠倒。 ●列方程(方程组)解应用题 基本概念 ◇列方程解应用题的一般步骤 （1）“审”指弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的等量关系； （2）“设”是指设元，也就是设未知数。 ——直接设未知数．题目求什么就设什么为未知数(可设为x、y等)，注意有单位要带单位。 ——间接设未知数．对于一些应用题，如果直接设所求的量为未知数，可能不容易列方程，这时可以间接地设一个或几个与所求的量有关系的量作为未知数，进而再求出所求的量。 ——设辅助未知数．如果前两种方法都行不通，便可设某个量为辅助未知数。辅助未知数仅作为题目中量与量之间关系的一种桥梁，一般情况下解方程时也不需求出这个量。 （3）“列”就是列方程，这是非常重要的关键步骤。一般先找出能够表达题目全部含义的一个或几个相等关系；然后列代数式表示相等关系中的各个量，就得到方程； （4）“解”就是解方程，求出未知数的值； （5）“验”就是检验所求的解是否有意义（包括分母不为零和保证实际问题有意义）； 10 （6）“答”即写出答案。 ◇列方程的分析方法 (1)译式法：即将题目中关键性的词语译成相应的含有未知数的代数式。 (2)列表法：①如甲乙二人等等、调动前后、加水前后等；②像行程问题、浓度问题、工程问题、劳力调配问题等，都可用表格法进行分析。 (3)图解法：如行程问题、工程问题等。 ◇常见应用题 (1)行程问题等量关系： 路程=速度×时间(s=vt)；速度=路程/时间（v=s/t）；时间=路程/速度（t=s/v） 常见的行程问题有相遇、追及、环行、水(风)流四类问题。 行程问题种类 相遇问题 等量关系 两者行程之和=相距路程； 若同时出发，相遇时所用时间相同 追及问题 快者与慢者所用的时间差=慢者多用的时间 同时出发，追及时间相等，快者路程=慢者路程+相距路程 环行问题 同时同地反向出发，两者行程之和=环行周长(第一次相遇) 同时同地同向出发，快者与慢者行程之差=环行周长(第一次相遇)(n次相遇路程为n倍环行周长)。 水(风)流问题 顺速=静速+水(风)速；即V顺=V静+V水； 逆速=静速-水(风)速；即V逆= V静-V水； 水速=1/2（顺速-逆速）即：V水=1/2（V顺-V逆） 单位要统一 注意事项 (2)工程问题：常常以工作量为基础得到相等关系(如各部分工作量之和等于整体1等)． 基本概念 一件工作需要n小时完成，那么l小时的工作效率=1/n m小时的工作量=工作效率×m=m/n 全部工作量=工作效率×n=n/n=1 等量关系 工作量=工作时间×工作效率 工作时间=工作量/工作效率 工作效率=工作量/工作时间 备注 11 (3)数字问题： 种类 当量关系 数学表达式 x-1，x，x+l 备注 x≥1是自然数 n-1，n，n+l 每一个数比它后面相邻的那个数小n为整数 连续自然数 每一个数比它后面相邻的那个数小l，或每一个数比它前面相邻的数大1 连续整数 连续奇数 连续偶数 2k-1，2k+l，2k+3 k为整数 k为整数 2，或每一个数比它前面相邻的数大2 2k xy表示为：10x+y；yx可以表示为10y+x 两位数的代数式表示法 三位数的代数式表示法 abc表示为：100a+10b+c，cba表示为100c+10b+a 四位或四位以上的多位数 abcd=l000a+100b+10c+d若记bcd=x，则abcd=l000a+x； 若记ab=x，则abcd=100x+10c+d abcde=10000a+1000b+100c+10d+e; 若记bcde=x，则abcde=10000a+x；bcdea=lOx+a （4)增长（降低）率问题： 增长（降低）率=增长（降低）量/原产量×100% 或增长（降低）数/基础数×100% 实际产量=原产量+增产量； 单位时间增产（降低）量=原产量×增长（降低）率： 实际产量=原产量×[1+增长（降低）率]； 最后产值b=a(1+x)n其中a为基数；x为平均增长（降低）率；n为增长（降低）的次数。 （5)利润、利润率问题： 利润=售价-进价 备注：毛利润=售价-进价； 纯利润：售价-进价-其他费用；（一般题目没有直接提毛利润或纯利润) 利润率=（利润/进价）×100％=[（售价-进价）/进价]×100％． 几点说明： 1、利润、利润率问题要弄清公式，理解售价、进价、利润之间的关系。 2、定价又称标价，指标在商品上的价格；定价往往大于进价，有的高出进价几倍；进价称成本价，指商家进货时的价格，此价格一般不为顾客所知； 3、打折实际上就是按定价降低某个百分点出售给顾客，打x折，按lOx％出售。 12