发布时间 : 星期三 文章高中数学 第二章 平面向量 2.4 平面向量的数量积 2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义(一)学案(无答更新完毕开始阅读
§2.4 平面向量的数量积
2．4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义(一)
学习目标 1.了解平面向量数量积的物理背景，即物体在力F的作用下产生位移s所做的功.2.掌握平面向量数量积的定义和运算律，理解其几何意义.3.会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判断两个向量是否垂直．
知识点一 平面向量数量积的物理背景及其定义 一个物体在力F的作用下产生位移s，如图．
思考1 如何计算这个力所做的功？ 答案 W＝|F||s|cosθ.
思考2 力做功的大小与哪些量有关？
答案 与力的大小、位移的大小及它们之间的夹角有关． 梳理
条件 结论 非零向量a与b，a与b的夹角为θ 数量|a||b|cosθ叫做向量a与b的数量积(或内积) 向量a与b的数量积记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ 零向量与任一向量的数量积为0 记法 规定
知识点二 平面向量数量积的几何意义
思考1 什么叫做向量b在向量a方向上的投影？什么叫做向量a在向量b方向上的投影？ →→
答案 如图所示，OA＝a，OB＝b，过B作BB1垂直于直线OA，垂足为B1，则OB1＝|b|cosθ. |b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影，|a|cosθ叫做向量a在b方向上的投影．
思考2 向量b在向量a方向上的投影与向量a在向量b方向上的投影相同吗？ 答案 由投影的定义知，二者不一定相同． 梳理 (1)条件：向量a与b的夹角为θ. (2)投影
向量b在a方向上的投影 |b|cosθ |a|cos向量a在b方向上的投影
(3)a·b的几何意义：
θ 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积． 知识点三 平面向量数量积的性质
思考1 向量的数量积运算结果和向量的线性运算的结果有什么区别？ 答案 向量的线性运算结果是向量，而向量的数量积是数量．
思考2 非零向量的数量积是否可为正数，负数和零，其数量积的符号由什么来决定？ 答案 由两个非零向量的夹角决定．
当0°≤θ＜90°时，非零向量的数量积为正数． 当θ＝90°时，非零向量的数量积为零．
当90°＜θ≤180°时，非零向量的数量积为负数． 梳理 设向量a与b都是非零向量，它们的夹角为θ， (1)a⊥b?a·b＝0.
??|a||b|，a与b同向，
(2)当a∥b时，a·b＝?
?－|a||b|，a与b反向.?
(3)a·a＝|a|或|a|＝a·a. (4)cosθ＝
2
a·b. |a||b|
(5)|a·b|≤|a||b|.
1．向量数量积的运算结果是向量．( × )
2．向量a在向量b上的投影一定是正数．( × ) →→
3．在等边△ABC中，向量AB与向量BC夹角为60°.( × ) →→
提示 向量AB与向量BC夹角为120°.
类型一 求两向量的数量积
例1 已知正三角形ABC的边长为1，求： →→→→→→(1)AB·AC；(2)AB·BC；(3)BC·AC. 考点 平面向量数量积的概念与几何意义 题点 平面向量数量积的概念与几何意义 →→
解 (1)∵AB与AC的夹角为60°.
11→→→→
∴AB·AC＝|AB||AC|cos60°＝1×1×＝.
22→→
(2)∵AB与BC的夹角为120°， →→→→
∴AB·BC＝|AB||BC|cos120° 1?1?＝1×1×?－?＝－. 2?2?→→
(3)∵BC与AC的夹角为60°，
11→→→→
∴BC·AC＝|BC||AC|cos60°＝1×1×＝.
22反思与感悟 求平面向量数量积的两个方法
(1)定义法：若已知向量的模及其夹角，则直接利用公式a·b＝|a||b|cosθ.
运用此法计算数量积的关键是正确确定两个向量的夹角，条件是两向量的始点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件．
(2)几何意义法：若已知一向量的模及另一向量在该向量方向上的投影，可利用数量积的几何意义求a·b.
跟踪训练1 已知|a|＝4，|b|＝7，且向量a与b的夹角为120°，求(2a＋3b)·(3a－2b)． 考点 平面向量数量积的概念与几何意义 题点 平面向量数量积的概念与几何意义
解 (2a＋3b)·(3a－2b) ＝6a－4a·b＋9b·a－6b ＝6|a|＋5a·b－6|b|
＝6×4＋5×4×7·cos120°－6×7 ＝－268.
类型二 求向量的模
π
例2 已知|a|＝|b|＝5，向量a与b的夹角为，求|a＋b|，|a－b|.
3考点 平面向量数量积的应用 题点 利用数量积求向量的模
125
解 a·b＝|a||b|cosθ＝5×5×＝.
22|a＋b|＝＝
2
2
2
2
2
2
a＋b2
＝|a|＋2a·b＋|b|
22
25
25＋2×＋25＝53.
2
|a－b|＝＝
a－b2
＝|a|－2a·b＋|b|
22
25
25－2×＋25＝5.
2
引申探究
若本例中条件不变，求|2a＋b|，|a－2b|. 125
解 a·b＝|a||b|cosθ＝5×5×＝，
22|2a＋b|＝＝
2a＋b2
＝4|a|＋4a·b＋|b|
22
25
4×25＋4×＋25＝57.
2
|a－2b|＝＝
a－2b2
＝|a|－4a·b＋4|b|
2225
25－4×＋4×25＝53.
2
2
2
2
反思与感悟 求解向量模的问题就是要灵活应用a＝|a|，即|a|＝a，勿忘记开方． 跟踪训练2 已知|a|＝1，|b|＝3，且|a－b|＝2，求|a＋b|. 考点 平面向量数量积的应用 题点 利用数量积求向量的模
解 方法一 ∵|a－b|＝(a－b)＝a－2a·b＋b
2
2
2
2