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解： 通过x＝a处平面1的电场强度通量
?1 = -E1 S1= -b a3 1分 y 通过x = 2a处平面2的电场强度通量
?2 = E2 S2 = ?b a3 1分
其它平面的电场强度通量都为零．因而通过该高斯面的总 1 2 E 1 E2 电场强度通量为
33 32
??=??1+??2 = ?b a-b a= b a =1 N2m/C 3分 O a 2a x 1372(35).图示一厚度为d的“无限大”均匀带电平板，电 荷体密度为?．试求板内外的场强分布，并画出场强随坐标x变化的图线，即E—x图线(设原点在带电平板的中央平面上，Ox轴垂直于平板)． O x
d
解：由电荷分布的对称性可知在中心平面两侧离中心平面相同距离处场强均沿x轴，大小相等而方向相反． S1 在板内作底面为S的高斯柱面S1（右图中厚度放大E1 E1 了）, 两底面距离中心平面均为?x?, 由高斯定理得
2?x? E1?2S???2xS/?0 S2 E2 E2 则得 E1??x/?0 Ex x?xd 1??1 即 E1??x/?0 ??d?x?d? 4分
?22?2?0在板外作底面为S的高斯柱面S2两底面距中心平面均为x，由高斯定理得 E2?2S?则得 E2?-d/2 O -d/2 x ??Sd/?0
12??1?1???即 E2???d/?2?0? ?x?d?， E2????d/?2?0? ?x??d? 4分
2?2???????d/?2?0? ?x?d?
E~ x 图线如图所示． 2分
?d 2?0
1373(40).一半径为R的带电球体，其电荷体密度分布为 ???????????????=Ar (r≤R) ， ??=0 (r＞R) A为一常量．试求球体内外的场强分布．
解：在球内取半径为r、厚为dr的薄球壳，该壳内所包含的电荷为
dq??dV?Ar?4?r2dr
在半径为r的球面内包含的总电荷为
q???dV??4?Ar3dr??Ar4 (r≤R)
V0r以该球面为高斯面，按高斯定理有 E1?4?r2??Ar4/?0 得到
E1?Ar2/?4?0?， (r≤R)
方向沿径向，A>0时向外, A<0时向里． 3分
在球体外作一半径为r的同心高斯球面，按高斯定理有
E2?4?r2??AR4/?0 得到 E2?AR4/4?0r2， (r >R)
方向沿径向，A>0时向外，A<0时向里． 2分
??
1374(45).一半径为R的带电球体，其电荷体密度分布为
??qr (r≤R) (q为一正的常量) πR4 ??= 0 (r>R)
试求：(1) 带电球体的总电荷；(2) 球内、外各点的电场强度；(3) 球内、外各点的电势． 解：(1) 在球内取半径为r、厚为dr的薄球壳，该壳内所包含的电荷为 dq = ?dV = qr 4?r2dr/(?R4) = 4qr3dr/R4
则球体所带的总电荷为 Q??V?dV??4q/R4??rr03dr?q 3分
(2) 在球内作一半径为r1的高斯球面，按高斯定理有
4qrqr21 4?rE1???4?rdr?440?0?R?0R2?qr1得 E1? (r1≤R)，E1方向沿半径向外． 2分
4??0R4211r1 在球体外作半径为r2的高斯球面，按高斯定理有 4?r22E2?q/?0
得 E2?q4??0r22 (r2 >R)，E2方向沿半径向外． 2分
?qr2qdr?dr ?r14??R4R4??r200? (3) 球内电势 U1??Rr1?R????E1?dr??E2?dr??R3qrr13?q?1 ? ?r1?R? 3分 ?4?3????3??0R12??0R412??0R?R??q 球外电势
U2??Rr2???E2?dr??r2q4??0r2dr?q ?r2?R? 2分
4??0r2
1376(65).设电荷体密度沿x轴方向按余弦规律??= ?0 cos x分布在整个空间，式中?为电荷体密度、??为其幅值．试求空间的场强分布．
?解：由题意知，电荷沿x轴方向按余弦规律变化．可以判断场强E的方向必沿x
?轴方向，且E相对yOz平面对称分布． 3分
在±x处作与x轴垂直的两个相同的平面S，用与x轴平行的侧面将其封闭为高斯面，如图所示． 1分 由高斯定理
yOz平面 侧面?? E EE?dS??dV/? S0 S?S?V?? Ox而 ?E?dS?2SE 1分 +x-xS??
?V?dV?S?0?cosxdx
?x?x
?2S?0sinx
2分
由此 2SE = 2S ?0 sin x / ?0
得 E=?0 sin x / ?0
方向可由E值正、负确定，E>0表示沿x轴正向，E<0则沿x轴负向． 3分
1503(45). 如图所示，一厚为b的“无限大”带电平板 ， 其 电荷体密度分布为?＝kx (0≤x≤b )，式中k为一正的常量．求： P P2 (1) 平板外两侧任一点P1和P2处的电场强度大小； P 1 (2) 平板内任一点P处的电场强度； O x x (3) 场强为零的点在何处？ b 解： (1) 由对称分析知，平板外两侧场强 大小处处相等、方向垂直于平面且背离平
S S 面．设场强大小为E． E E 作一柱形高斯面垂直于平面．其底面 dx 大小为S，如图所示． b ?? 按高斯定理?E?dS??q/?0，即
S2SE?1?0?b0?Sdx?kS?0?b0kSb2 xdx?2?0E S S P x E?
得到 E = kb2 / (4?0) (板外两侧) 4分
(2) 过P点垂直平板作一柱形高斯面，底面为S．设该处场强为E?，如图所示．按高斯定理有 ?E??E?S?kS?0?x0kSb2 xdx?2?0?2b2???x?2?? (0≤x≤b) 4分 ??k得到 E??2?02b2?0， 可得x?b/2 2分 (3) E?=0，必须是x?2
1024(35).有一电荷面密度为?的“无限大”均匀带电平面．若以该平面处为电势零点，试求带电平面周围空间的电势分布．
解：选坐标原点在带电平面所在处，x轴垂直于平面．由高斯定理可得场强分布为 E=±??/ (2?0) 2分 (式中“＋”对x＞0区域，“－”对x＜0区域? . 平面外任意点x处电势： 在x≤0区域 U??0Edx?x?0x???x 3分 dx?2?02?0?在x≥0区域 U??0Edx?x?0x???x 3分 dx?2?02?0 -?O+?x
1025(45). 电荷面密度分别为+?和－?的两块“无限大”均匀带电平行平面，分别与x轴垂直相交于x1＝a，x2＝－a 两点．设坐标原点O处电势为零，试求空间的电势分布表示式并画出其曲线．
-a O +a x
解：由高斯定理可得场强分布为：
E =-? / ?0 (－a＜x＜a) 1分 E = 0 (－∞＜x＜－a ，a＜x＜＋∞＝ 1分
由此可求电势分布：在－∞＜x≤－a区间
U??0xEdx??0dx????dx/?0???a/?0 2分
x?a?a0在－a≤x≤a区间
U??0xEdx??a0x???00adx????x 2分 ?0?a 2分 ?0-a U 在a≤x＜∞区间
U??0xEdx??0dx??x?0dx?O +a x 图2分
1280(35).图中所示为一沿x轴放置的长度为l的不均a匀带电细棒，其电荷线密度为?＝?0 (x-a)，?0为一常O量．取无穷远处为电势零点，求坐标原点O处的电势． 解：在任意位置x处取长度元dx，其上带有电荷
adq=?0 (x－a)dx 1分
O它在O点产生的电势
lx
lx x dx??x?a?dx dU?0 2分
4??0x U?dU?
O点总电势
?a?ldx??0?0?a?ldx?a???ax?4??0??a?4??0a?l?? 2分 l?aln??a??
1421(25).一半径为R的均匀带电圆盘，电荷面密度为?．设无穷远处为电势零点．计算圆盘中心O点电势．
解：在圆盘上取一半径为r→r＋dr范围的同心圆环．其面积为
dS=2?rdr
R 其上电荷为 dq=2??rdr 2分
它在O点产生的电势为
O dr dq?dr dU? 2分 ?4??0r2?0?总电势 U??dU?S2?0?R0
?R dr?2?0
1分
1519(25). 图示为一个均匀带电的球层，其电荷体密度为?，球层内表面 半径为R1，外表面半径为R2．设无穷远处为电势零点，求空腔内任一点的电势．
解: 由高斯定理可知空腔内E＝0，故带电球层的空腔是等势区，各点电势均
O R1 R2