发布时间 : 星期一 文章2020年中考数学基础题型提分讲练专题19以三角形为背景的证明与计算含解析更新完毕开始阅读
中考 2020
∴∠ECF=60°，BE=AF，EC=CF，BC=AC， ∴△CEF是等边三角形， ∴EF=EC， 又∵ED=EC， ∴ED=EF， ∵AB=AC，BC=AC， ∴△ABC是等边三角形， ∴∠ABC=60°， 又∵∠CBE=∠CAF， ∴∠CAF=60°，
∴∠EAF=180°-∠CAF-∠BAC =180°-60°-60° =60°
∴∠DBE=∠EAF； ∵ED=EC， ∴∠ECD=∠EDC，
∴∠BDE=∠ECD+∠DEC=∠EDC+∠DEC， 又∵∠EDC=∠EBC+∠BED，
∴∠BDE=∠EBC+∠BED+∠DEC=60°+∠BEC， ∵∠AEF=∠CEF+∠BEC=60°+∠BEC， ∴∠BDE=∠AEF， 在△EDB和△FEA中，
??DBE＝?EAF???BDE＝?AEF ?ED＝EF?∴△EDB≌△FEA（AAS）， ∴BD=AE，EB=AF， ∵BE=AB+AE， ∴AF=AB+BD，
即AB，DB，AF之间的数量关系是：
中考 2020
AF=AB+BD．
考点：旋转变化，等边三角形，三角形全等，
11．（2019·浙江中考真题）如图，在△ABC中，AC ⑴已知线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，连结AP，求证：?APC2?B； ⑵以点B为圆心，线段AB的长为半径画弧，与BC边交于点Q，连结AQ，若?AQC3?B，求DB的度数. 【答案】（1）见解析；（2）∠B=36°. 【解析】 （1）证明：因为点P在AB的垂直平分线上， 所以PA=PB， 所以∠PAB=∠B， 所以∠APC=∠PAB+∠B=2∠B. （2）根据题意，得BQ=BA， 所以∠BAQ=∠BQA， 设∠B=x， 所以∠AQC=∠B+∠BAQ=3x， 所以∠BAQ=∠BQA=2x， 在△ABQ中，x+2x+2x=180°， 解得x=36°，即∠B=36°. 【点睛】 本题考查垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，解题的关键是掌握垂直平分线的性质、等腰三角形的性质. 12．（2019·山东初三）（1）操作发现：如图①，小明画了一个等腰三角形ABC，其中AB=AC，在△ABC的外侧分别以AB，AC为腰作了两个等腰直角三角形ABD，ACE，分别取BD，CE，BC的中点M，N，G，连接GM， GN．小明发现了：线段GM与GN的数量关系是__________；位置关系是__________． （2）类比思考： 中考 2020 如图②，小明在此基础上进行了深入思考．把等腰三角形ABC换为一般的锐角三角形，其中AB＞AC，其它条件不变，小明发现的上述结论还成立吗？请说明理由． （3）深入研究： 如图③，小明在（2）的基础上，又作了进一步的探究．向△ABC的内侧分别作等腰直角三角形ABD，ACE，其它条件不变，试判断△GMN的形状，并给与证明． 【答案】（1）MG=NG； MG⊥NG；（2）成立，MG=NG，MG⊥NG；（3）答案见解析 【解析】 （1）连接BE，CD相交于H，如图1， ∵△ABD和△ACE都是等腰直角三角形， ∴AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE=90° ∴∠CAD=∠BAE， ∴△ACD≌△AEB（SAS）， ∴CD=BE，∠ADC=∠ABE， ∴∠BDC+∠DBH=∠BDC+∠ABD+∠ABE=∠BDC+∠ABD+∠ADC=∠ADB+∠ABD=90°， ∴∠BHD=90°， ∴CD⊥BE， ∵点M，G分别是BD，BC的中点， 1CD， 21同理：NG∥BE且NG=BE， 2∴MG∥CD且MG=∴MG=NG，MG⊥NG， 中考 2020 （2）连接CD，BE，相交于H，如图2， 同（1）的方法得，MG=NG，MG⊥NG； （3）连接EB，DC并延长相交于点H，如图3. 同（1）的方法得，MG=NG， 同（1）的方法得，△ABE≌△ADC， ∴∠AEB=∠ACD， ∴∠CEH+∠ECH=∠AEH﹣∠AEC+180°﹣∠ACD﹣∠ACE=∠ACD﹣45°+180°﹣∠ACD﹣45°=90°， ∴∠DHE=90°， 同（1）的方法得，MG⊥NG． ∴△GMN是等腰直角三角形. 点睛：此题是三角形综合题，主要考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，三角形的中位线定理，正确作出辅助线用类比的思想解决问题是解本题的关键． 13．（2019·山东）（提出问题） （1）如图1，在等边△ABC中，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等边△AMN，连结CN．求证：∠ABC=∠ACN． （类比探究） （2）如图2，在等边△ABC中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），其它条件不变，（1）中结论∠ABC=∠ACN还成立吗？请说明理由． （拓展延伸）