发布时间 : 星期一 文章2020年中考数学基础题型提分讲练专题19以三角形为背景的证明与计算含解析更新完毕开始阅读
中考 2020
专题19 以三角形为背景的证明与计算
考点分析
【例1】（2019·山东中考真题）如图，已知等边?ABC，CD?AB于D，AF?AC，E为线段CD上一点，且CE?AF，连接BE，BF，EG?BF于G，连接DG．
（1）求证：BE?BF；
（2）试说明DG与AF的位置关系和数量关系．
【答案】（1）详见解析；（2）AF?2GD，AF//DG，理由详见解析． 【解析】
（1）∵?ABC是等边三角形，
?AB?AC?BC，?BAC??ACB??ABC?60?，
∵CD?AB，AC?BC， ∴BD?AD，?BCD?30?， ∵AF?AC，
??FAC?90?，
??FAB??FAC??BAC?30?，
??FAB??ECB，且AB?BC，AF?CE，
??ABF≌?CBE(SAS)，
?BF?BE，
（2）AF?2GD，AF//DG.理由如下： 连接EF，
中考 2020
∵?ABF≌?CBE ∴?ABF??CBE， ∵?ABE??EBC?60?， ∴?ABE??ABF?60?， ∵BE?BF，
??BEF是等边三角形，
∵GE?BF，
?BG?FG，且BD?AD， ?AF?2GD，AF//DG.
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，三角形中位线定理，熟练运用三角形中位线定理是本题的关键．
【例2】（2019·山东中考真题）小圆同学对图形旋转前后的线段之间、角之间的关系进行了拓展探究.
（一）猜测探究
在?ABC中，AB?AC，M是平面内任意一点，将线段AM绕点A按顺时针方向旋转与?BAC相等的角度，得到线段AN，连接NB．
（1）如图1，若M是线段BC上的任意一点，请直接写出?NAB与?MAC的数量关系是 ，NB中考 2020
与MC的数量关系是 ；
（2）如图2，点E是AB延长线上点，若M是?CBE内部射线BD上任意一点，连接MC，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由． （二）拓展应用
oo如图3，在?A1B1C1中，A1B1?8，?A1B1C1?60，?B1A1C1?75，P是B1C1上的任意点，连接A1P，
将A1P绕点A1按顺时针方向旋转75o，得到线段A1Q，连接B1Q．求线段B1Q长度的最小值．
【答案】（一）（1）结论：?NAB??MAC，BN?MC．理由见解析；（2）如图2中，①中结论仍然成立．理由见解析；（二）QB1的最小值为43?42． 【解析】
（一）（1）结论：?NAB??MAC，BN?MC． 理由：如图1中，
∵?MAN??CAB，
∴?NAB??BAM??BAM??MAC， ∴?NAB??MAC， ∵AB?AC，AN?AM， ∴?NAB≌?MAC（SAS）， ∴BN?CM．
?CM．
故答案为?NAB??MAC，BN（2）如图2中，①中结论仍然成立．
中考 2020
理由：∵?MAN??CAB，
∴?NAB??BAM??BAM??MAC， ∴?NAB??MAC， ∵AB?AC，AN?AM， ∴?NAB≌?MAC（SAS）， ∴BN?CM．
（二）如图3中，在A1C1上截取A1N?A1Q，连接PN，作NH?B1C1于H，作A1M?B1C1于M．
∵?C1A1B1??PAQ， 1∴?QA1B1??PA1N， ∵A1A?A1P，A1B1?AN， ∴?QA1B1≌?PA1N（SAS）， ∴B1Q?PN，
∴当PN的值最小时，QB1的值最小，
o在Rt?A1B1M中，∵?A1B1M?60，A1B1?8，