发布时间 : 星期四 文章上海市浦东新区2018届高三下学期质量调研(二模)数学试(含详细解答)更新完毕开始阅读
则该四面体的体积为
11? 6311. 已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x)在[0,??)上是增函数，如果对于任意
【解析】是一个边长为2的正四面体，体积为1?4?x?[1,2]，f(ax?1)?f(x?3)恒成立，则实数a的取值范围是
【解析】|ax?1|?3?x在x?[1,2]恒成立，|a?1|?2且|2a?1|?1，解得a?[?1,0] 12. 已知函数f(x)?x2?5x?7，若对于任意的正整数n，在区间[1,n?]上存在m?1个 实数a0、a1、a2、???、am，使得f(a0)?f(a1)?f(a2)?????f(am)成立，则m的最大 值为 【解析】(n?)min?5n5n9991953，∴在区间[1,]上最大值为f()?，最小值为f()?， 2224241931??6??????，即m的最大值为6 444
二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）
13. 已知方程x2?px?1?0的两虚根为x1、x2，若|x1?x2|?1，则实数p的值为（ ） A. ?3 B. ?5 C. 【解析】由??0，排除B、C、D，选A
14. 在复数运算中下列三个式子是正确的：（1）|z1?z2|?|z1|?|z2|；（2）|z1?z2|?|z1|?|z2|；（3）
3，5 D. ?3，?5
(z1?z2)?z3?z1?(z2?z3)，相应的在向量运算中，下列式子：（1）|a?b|?|a|?|b|；（2）
|a?b|?|a|?|b|；（3）(a?b)?c?a?(b?c)，正确的个数是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【解析】① 正确，②③错误，选B
15. 唐代诗人杜牧的七绝唐诗中有两句诗为：“今来海上升高望，不到蓬莱不成仙。”其中后一句中“成仙”是“到蓬莱”的（ ） A. 充分条件 C. 充要条件
B. 必要条件
D. 既非充分又非必要条件
【解析】不到蓬莱→不成仙，∴成仙→到蓬莱，选A
16. 设P、Q是R上的两个非空子集，如果存在一个从P到Q的函数y?f(x)满足：（1）
Q?{f(x)|x?P}；（2）对任意x1,x2?P，当x1?x2时，恒有f(x1)?f(x2)，那么称这两个集合
构成“P?Q恒等态射”，以下集合可以构成“P?Q恒等态射”的是（ ） A. R?Z B. Z?Q C. [1,2]?(0,1) D. (1,2)?R 【解析】根据题意，定义域为P，单调递增，值域为Q，由此判断，D符合，故选D
三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）
17. 已知圆锥AO的底面半径为2，母线长为210，点C为圆锥底面圆周上的一点，O为 圆心，D是AB的中点，且?BOC?（1）求圆锥的全面积；
（2）求直线CD与平面AOB所成角的大小. （结果用反三角函数值表示）
【解析】（1）圆锥的底面积S1??r2?4? ……………3分 圆锥的侧面积S2??rl?410?……………3分 圆锥的全面积S?S1?S2?4(1?10)?……………1分 （2）Q?BOC? ?OC?OB 且OC?OA，OC?平面AOB ……………2分 2??CDO是直线CD与平面AOB所成角 ……………1分
?2.
?在RtVCDO中，OC?2,OD?10, ……………1分
1010,??CDO?arctan ……………2分 5510所以，直线CD与平面AOB所成角的为arctan……………1分
5tan?CDO?
18. 在?ABC中，边a、b、c分别为角A、B、C所对应的边.
2c(2a?b)sinA（1）若?0，求角C的大小； (2b?a)sinB1?sinC(2a?b)sinA（2）若sinA?42?，C?，c?3，求?ABC的面积. 53【解析】（1）由题意，2csinC??2a?b?sinA??2b?a?sinB；……………2分 由正弦定理得2c2??2a?b?a??2b?a?b，∴c?a?b?ab，……………2分
222?a2?b2?c21?，∴C?；……………2分 ∴cosC?2ab234ac8?（2）由sinA?，c?3，且，∴a?；…………2分
5sinAsinC52?3由a?c?A?C?，∴cosA?,…………2分
5333?4∴sinB?sin?A?C??sinAcosC?cosAsinC?；…………2分
10118?83 ∴S?ABC?casinB?…………2分
22519. 已知双曲线C:x2?y2?1.
（1）求以右焦点为圆心，与双曲线C的渐近线相切的圆的方程；
（2）若经过点P(0,?1)的直线与双曲线C的右支交于不同两点M、N，求线段MN的中垂线l在y轴上截距t的取值范围.
【解析】（1）F2(2,0)…………1分 渐近线 x?y?0………1分
R?1…………2分 (x?2)2?y2?1………………2分
（2）设经过点B的直线方程为y?kx?1,交点为M(x1,y1),N(x2,y2)………………1分
?k2?1,??0?x?y?1??(1?k2)x2?2kx?2?0…1分 则?x1?x2?0?1?k?2…2分 ??y?kx?1?xx?0?12?k?111k，…1分 得中垂线MN的中点为(,)l:y???(x?)…1分 22221?k1?k1?kk1?k?22令x?0得截距t???2………………2分
1?k2k2?122即线段MN的中垂线l在y轴上截距t的取值范围是(2,??).
20. 已知函数y?f(x)定义域为R，对于任意x?R恒有f(2x)??2f(x). （1）若f(1)??3，求f(16)的值；
（2）若x?(1,2]时，f(x)?x2?2x?2，求函数y?f(x)，x?(1,8]的解析式及值域； （3）若x?(1,2]时，f(x)??|x?小值.
【解析】（1）Qf(1)??3且f(2x)??2f(x)
3|，求y?f(x)在区间(1,2n]，n?N*上的最大值与最 2?f(2)??3?(?2)……………1分 ?f(22)??3?(?2)2……………1分
?f(23)??3?(?2)3………1分 ?f(16)?f(24)??3?(?2)4??48……1分
（2）
xf(2x)??2f(x)?f(x)??2f()，
2x?(1,2]时，f(x)?x2?2x?2?(x?1)2?1，f(x)?(1,2]……………1分
xx1x?(2,4]时，f(x)??2f()??2[(?1)2?1]??(x?2)2?2，……………1分
222f(x)?[?4,?2)……………1分
x1x1x?(4,8]时，f(x)??2f()??2[?(?2)2?2]?(x?4)2?4，……………1分
2224f(x)?(4,8]……………1分
??(x?1)2?1,x?(1,2]??12f(x)?得：1，2](4,8]……………1分 ??(x?2)?2,x?(2,4]，值域为[?4,?2)（2??12(x?4)?4,x?(4,8]??4x（3）f(2x)??2f(x)?f(x)??2f()
2x32当x?(1,2]时，f(x)??x?得：当x?(2,2]时，f(x)??2f()?x?3……1分
22xn?1n当x?(2,2]时，n?1?(1,2]，
2xxxx3f(x)??2f()?(?2)2f(2)?L(?2)n?1f(n?1)??(?2)n?1n?1??(?1)nx?3?2n?2…………
22222…2分
2n当x?(2,2]，n为奇数时，f(x)??x?3?2?[?,0]
42nn?1nn?2当x?(2,2]，n为偶数时，f(x)?x?3?2?[0,]
41综上：n?1时，f(x)在(1,2]上最大值为0，最小值为?……………1分
22n2nnn?2，n为偶数时，f(x)在(1,2]上最大值为，最小值为?……………1分
482n2nnn?3，n为奇数时，f(x)在(1,2]上最大值为，最小值为?……………1分
84n?1nn?2
21. 已知数列{an}中a1?1，前n项和为Sn，若对任意的n?N*，均有Sn?an?k?k（k是常数，且k?N*）成立，则称数列{an}为“H(k)数列”.
（1）若数列{an}为“H(1)数列”，求数列{an}的前n项和Sn；
2（2）若数列{an}为“H(，且a2为整数，试问：是否存在数列{an}，使得|an?an?1an?1|?402)数列”
对一切n?2，n?N*恒成立？如果存在，求出这样数列{an}的a2的所 有可能值，如果不存在，请说明理由；
（3）若数列{an}为“H(k)数列”，且a1?a2?????ak?1，证明：an?2k?(1?【解析】（1）数列?an?为“H?1?数列”，则Sn?an?1?1，故Sn?1?an?2?1， 两式相减得：an?2?2an?1， …………………1分
又n?1时，a1?a2?1，所以a2?2?2a1，………………1分
1n?k). 2k?1