发布时间 : 星期四 文章上海市浦东新区2018届高三下学期质量调研(二模)数学试(含详细解答)更新完毕开始阅读
则该四面体的体积为
11? 6311. 已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x)在[0,??)上是增函数,如果对于任意
【解析】是一个边长为2的正四面体,体积为1?4?x?[1,2],f(ax?1)?f(x?3)恒成立,则实数a的取值范围是
【解析】|ax?1|?3?x在x?[1,2]恒成立,|a?1|?2且|2a?1|?1,解得a?[?1,0] 12. 已知函数f(x)?x2?5x?7,若对于任意的正整数n,在区间[1,n?]上存在m?1个 实数a0、a1、a2、???、am,使得f(a0)?f(a1)?f(a2)?????f(am)成立,则m的最大 值为 【解析】(n?)min?5n5n9991953,∴在区间[1,]上最大值为f()?,最小值为f()?, 2224241931??6??????,即m的最大值为6 444
二. 选择题(本大题共4题,每题5分,共20分)
13. 已知方程x2?px?1?0的两虚根为x1、x2,若|x1?x2|?1,则实数p的值为( ) A. ?3 B. ?5 C. 【解析】由??0,排除B、C、D,选A
14. 在复数运算中下列三个式子是正确的:(1)|z1?z2|?|z1|?|z2|;(2)|z1?z2|?|z1|?|z2|;(3)
3,5 D. ?3,?5
(z1?z2)?z3?z1?(z2?z3),相应的在向量运算中,下列式子:(1)|a?b|?|a|?|b|;(2)
|a?b|?|a|?|b|;(3)(a?b)?c?a?(b?c),正确的个数是( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【解析】① 正确,②③错误,选B
15. 唐代诗人杜牧的七绝唐诗中有两句诗为:“今来海上升高望,不到蓬莱不成仙。”其中后一句中“成仙”是“到蓬莱”的( ) A. 充分条件 C. 充要条件
B. 必要条件
D. 既非充分又非必要条件
【解析】不到蓬莱→不成仙,∴成仙→到蓬莱,选A
16. 设P、Q是R上的两个非空子集,如果存在一个从P到Q的函数y?f(x)满足:(1)
Q?{f(x)|x?P};(2)对任意x1,x2?P,当x1?x2时,恒有f(x1)?f(x2),那么称这两个集合
构成“P?Q恒等态射”,以下集合可以构成“P?Q恒等态射”的是( ) A. R?Z B. Z?Q C. [1,2]?(0,1) D. (1,2)?R 【解析】根据题意,定义域为P,单调递增,值域为Q,由此判断,D符合,故选D
三. 解答题(本大题共5题,共14+14+14+16+18=76分)
17. 已知圆锥AO的底面半径为2,母线长为210,点C为圆锥底面圆周上的一点,O为 圆心,D是AB的中点,且?BOC?(1)求圆锥的全面积;
(2)求直线CD与平面AOB所成角的大小. (结果用反三角函数值表示)
【解析】(1)圆锥的底面积S1??r2?4? ……………3分 圆锥的侧面积S2??rl?410?……………3分 圆锥的全面积S?S1?S2?4(1?10)?……………1分 (2)Q?BOC? ?OC?OB 且OC?OA,OC?平面AOB ……………2分 2??CDO是直线CD与平面AOB所成角 ……………1分
?2.
?在RtVCDO中,OC?2,OD?10, ……………1分
1010,??CDO?arctan ……………2分 5510所以,直线CD与平面AOB所成角的为arctan……………1分
5tan?CDO?
18. 在?ABC中,边a、b、c分别为角A、B、C所对应的边.
2c(2a?b)sinA(1)若?0,求角C的大小; (2b?a)sinB1?sinC(2a?b)sinA(2)若sinA?42?,C?,c?3,求?ABC的面积. 53【解析】(1)由题意,2csinC??2a?b?sinA??2b?a?sinB;……………2分 由正弦定理得2c2??2a?b?a??2b?a?b,∴c?a?b?ab,……………2分
222?a2?b2?c21?,∴C?;……………2分 ∴cosC?2ab234ac8?(2)由sinA?,c?3,且,∴a?;…………2分
5sinAsinC52?3由a?c?A?C?,∴cosA?,…………2分
5333?4∴sinB?sin?A?C??sinAcosC?cosAsinC?;…………2分
10118?83 ∴S?ABC?casinB?…………2分
22519. 已知双曲线C:x2?y2?1.
(1)求以右焦点为圆心,与双曲线C的渐近线相切的圆的方程;
(2)若经过点P(0,?1)的直线与双曲线C的右支交于不同两点M、N,求线段MN的中垂线l在y轴上截距t的取值范围.
【解析】(1)F2(2,0)…………1分 渐近线 x?y?0………1分
R?1…………2分 (x?2)2?y2?1………………2分
(2)设经过点B的直线方程为y?kx?1,交点为M(x1,y1),N(x2,y2)………………1分
?k2?1,??0?x?y?1??(1?k2)x2?2kx?2?0…1分 则?x1?x2?0?1?k?2…2分 ??y?kx?1?xx?0?12?k?111k,…1分 得中垂线MN的中点为(,)l:y???(x?)…1分 22221?k1?k1?kk1?k?22令x?0得截距t???2………………2分
1?k2k2?122即线段MN的中垂线l在y轴上截距t的取值范围是(2,??).
20. 已知函数y?f(x)定义域为R,对于任意x?R恒有f(2x)??2f(x). (1)若f(1)??3,求f(16)的值;
(2)若x?(1,2]时,f(x)?x2?2x?2,求函数y?f(x),x?(1,8]的解析式及值域; (3)若x?(1,2]时,f(x)??|x?小值.
【解析】(1)Qf(1)??3且f(2x)??2f(x)
3|,求y?f(x)在区间(1,2n],n?N*上的最大值与最 2?f(2)??3?(?2)……………1分 ?f(22)??3?(?2)2……………1分
?f(23)??3?(?2)3………1分 ?f(16)?f(24)??3?(?2)4??48……1分
(2)
xf(2x)??2f(x)?f(x)??2f(),
2x?(1,2]时,f(x)?x2?2x?2?(x?1)2?1,f(x)?(1,2]……………1分
xx1x?(2,4]时,f(x)??2f()??2[(?1)2?1]??(x?2)2?2,……………1分
222f(x)?[?4,?2)……………1分
x1x1x?(4,8]时,f(x)??2f()??2[?(?2)2?2]?(x?4)2?4,……………1分
2224f(x)?(4,8]……………1分
??(x?1)2?1,x?(1,2]??12f(x)?得:1,2](4,8]……………1分 ??(x?2)?2,x?(2,4],值域为[?4,?2)(2??12(x?4)?4,x?(4,8]??4x(3)f(2x)??2f(x)?f(x)??2f()
2x32当x?(1,2]时,f(x)??x?得:当x?(2,2]时,f(x)??2f()?x?3……1分
22xn?1n当x?(2,2]时,n?1?(1,2],
2xxxx3f(x)??2f()?(?2)2f(2)?L(?2)n?1f(n?1)??(?2)n?1n?1??(?1)nx?3?2n?2…………
22222…2分
2n当x?(2,2],n为奇数时,f(x)??x?3?2?[?,0]
42nn?1nn?2当x?(2,2],n为偶数时,f(x)?x?3?2?[0,]
41综上:n?1时,f(x)在(1,2]上最大值为0,最小值为?……………1分
22n2nnn?2,n为偶数时,f(x)在(1,2]上最大值为,最小值为?……………1分
482n2nnn?3,n为奇数时,f(x)在(1,2]上最大值为,最小值为?……………1分
84n?1nn?2
21. 已知数列{an}中a1?1,前n项和为Sn,若对任意的n?N*,均有Sn?an?k?k(k是常数,且k?N*)成立,则称数列{an}为“H(k)数列”.
(1)若数列{an}为“H(1)数列”,求数列{an}的前n项和Sn;
2(2)若数列{an}为“H(,且a2为整数,试问:是否存在数列{an},使得|an?an?1an?1|?402)数列”
对一切n?2,n?N*恒成立?如果存在,求出这样数列{an}的a2的所 有可能值,如果不存在,请说明理由;
(3)若数列{an}为“H(k)数列”,且a1?a2?????ak?1,证明:an?2k?(1?【解析】(1)数列?an?为“H?1?数列”,则Sn?an?1?1,故Sn?1?an?2?1, 两式相减得:an?2?2an?1, …………………1分
又n?1时,a1?a2?1,所以a2?2?2a1,………………1分
1n?k). 2k?1