发布时间 : 星期二 文章2003年全国统一高考数学试卷(理科)更新完毕开始阅读
r=﹣即|z|=
﹣1（舍去）． ﹣1．
【点评】解决复数问题时，我们多使用待定系数法，即设出复数的值，然后根据题目中的其它条件，列出方程，解方程求出系数，即可得到未知复数的值．
18．（12分）（2003?全国）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°，侧棱AA1=2，D、E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G．
（Ⅰ）求A1B与平面ABD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）； （Ⅱ）求点A1到平面AED的距离．
【考点】MI：直线与平面所成的角；L2：棱柱的结构特征；MK：点、线、面间的距离计算．
【专题】11 ：计算题．
【分析】（1）连接BG，则BG是BE在面ABD的射影，易证∠EBG是A1B与平面ABD所成的角，设F为AB中点，连接EF、FC，在三角形EBG中求出此角； （2）连接A1D，有距离即可．
【解答】解：（Ⅰ）连接BG，则BG是BE在面ABD的射影， 即∠EBG是A1B与平面ABD所成的角． 设F为AB中点，连接EF、FC， ∵D，E分别是CC1，A1B的中点， 又DC⊥平面ABC， ∴CDEF为矩形，连接DE，
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，建立等量关系，求出点A1到平面AED的
G是△ADB的重心，
∴G∈DF，在直角三角形EFD中， EF2=FG?FD=FD2， ∵EF=1，∴FD=于是ED=∵FC=∴AB=2
，EG=
．
，CD=1 ，A1B=2
，EB=
，
；
∴A1B与平面ABD所成的角是arcsin
（Ⅱ）连接A1D，有
∵ED⊥AB，ED⊥EF，又EF∩AB=F，
∴ED⊥平面A1AB，设A1到平面AED的距离为h， 则
，
，
．
∴
，
即A1到平面AED的距离为．
【点评】本小题主要考查线面关系和直棱柱等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力．
19．（12分）（2003?全国）已知c＞0，设P：函数y=cx在R上单调递减，Q：不等式x+|x﹣2c|＞1的解集为R．如果P和Q有且仅有一个正确，求c的取值范围．
【考点】4B：指数函数的单调性与特殊点；R5：绝对值不等式的解法．
【专题】11 ：计算题；15 ：综合题．
【分析】函数y=cx在R上单调递减，推出c的范围，不等式x+|x﹣2c|＞1的解
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集为R，推出x+|x﹣2c|的最小值大于1，P和Q有且仅有一个正确，然后求出c的取值范围．
【解答】解：函数y=cx在R上单调递减?0＜c＜1．
不等式x+|x﹣2c|＞1的解集为R?函数y=x+|x﹣2c|在R上恒大于1． ∵x+|x﹣2c|=
∴函数y=x+|x﹣2c|在R上的最小值为2c．
∴不等式x+|x﹣2c|＞1的解集为R?2c＞1?c＞． 如果P正确，且Q不正确，则0＜c≤． 如果P不正确，且Q正确，则c＞1． ∴c的取值范围为（0，]∪（1，+∞）．
【点评】本题考查绝对值不等式的解法，指数函数单调性的应用，是中档题．
20．（12分）（2003?全国）在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图）的东偏南
方向300km的海面P处，并以
20km/h的速度向西偏北45°方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？
【考点】JF：圆方程的综合应用．
【专题】12 ：应用题；16 ：压轴题．
【分析】建立坐标系：以O为原点，正东方向为x轴正向．设在时刻：t（h）台
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风中心P（x，y）的坐标进而可知此时台风侵袭的区域，根据题意可知其中r（t）
2+2≤=10t+60，若在t时，该城市O受到台风的侵袭，则有（0﹣x）（0﹣y）（10t+60）2，进而可得关于
t的一元二次不等式，求得t的范围，答案可得．
【解答】解：如图建立坐标系：以O为原点，正东方向为x轴正向． 在时刻：t（h）台风中心P（x，y）的坐标为
令（x′，y′）是台风边缘线上一点，则此时台风侵袭的区域是（x′﹣x）2+（y′﹣y）
2≤[r（t）]2，
其中r（t）=10t+60，
若在t时，该城市受到台风的侵袭， 则有（0﹣x）2+（0﹣y）2≤（10t+60）2， 即
即t2﹣36t+288≤0，解得12≤t≤24． 答：12小时后该城市开始受到台风侵袭．
【点评】本题主要考查了圆的方程的综合运用．考查了学生运用所学知识解决实际问题的能力．
21．（12分）（2003?全国）已知常数a＞0，在矩形ABCD中，AB=4，BC=4a，O为AB的中点，点E、F、G分别在BC、CD、DA上移动，且
，P为GE，
与OF的交点（如图），问是否存在两个定点，使P到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由．
【考点】J3：轨迹方程；K4：椭圆的性质．
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