发布时间 : 星期日 文章2020年高考数学一轮复习考点与题型总结：第十章 统计与统计案例更新完毕开始阅读
第十章 统计与统计案例
第一节 随机抽样
一、基础知识
1．简单随机抽样
(1)定义：一般地，设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．这样抽取的样本，叫做简单随机样本．
(2)常用方法：抽签法和随机数法． 2．分层抽样
(1)在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样．
(2)分层抽样的应用范围：
当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样． 3．系统抽样
(1)定义：当总体中的个体数较多时，可以将总体分成均衡的几部分，然后按照预先制定的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需的样本，这种抽样的方法叫做系统抽样．
(2)系统抽样的步骤
假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本． ①先将总体的N个个体编号；
NN
②确定分段间隔k，对编号进行分段．当(n是样本容量)是整数时，取k＝；
nn
当总体中的个体数不能被样本容量整除时，可先用简单随机抽样的方法从总体中剔除几个个体，使剩下的个体数能被样本容量整除，然后再按系统抽样进行.这时在整个抽样过程中每个个体被抽取的可能性仍然相等.
③在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号l(l≤k)；
④按照一定的规则抽取样本．通常是将l加上间隔k得到第2个个体编号l＋k，再加k得到第3个个体编号l＋2k，依次进行下去，直到获取整个样本．
二、常用结论
(1)不论哪种抽样方法，总体中的每一个个体入样的概率都是相同的． (2)系统抽样一般也称为等距抽样，入样个体的编号相差分段间隔k的整数倍． (3)分层抽样是按比例抽样，每一层入样的个体数为该层的个体数乘抽样比． (4)三种抽样方法的特点、联系及适用范围 类别 简单随机抽样 ①抽样过程中每系统 抽样 个个体被抽到的可能性相等； ②每次抽出个体后不再将它放回，分层 抽样 即不放回抽样 将总体分成几层，分层进行抽取 共同点 各自特点 从总体中逐个抽取 将总体均分成几部分，按预先定出的规则在各部分中抽取 联系 在起始部分取样时，采用简单随机抽样 各层抽样时，采用简单随机抽样或系统抽样
考点一 简单随机抽样
[典例] 下列抽取样本的方式属于简单随机抽样的个数有( ) ①从无限多个个体中抽取100个个体作为样本；
②盒子里共有80个零件，从中选出5个零件进行质量检验．在抽样操作时，从中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里；
③用抽签方法从10件产品中选取3件进行质量检验；
④某班有56名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛． A．0个 C．2个
B．1个 D．3个
适用范围 总体个数较少 总体个数较多 总体由差异明显的几部分组成 [解析] ①不是简单随机抽样，因为被抽取样本的总体的个数是无限的，而不是有限的；②不是简单随机抽样，因为它是有放回抽样；③明显为简单随机抽样；④不是简单随机抽样，因为不是等可能抽样．
[答案] B
[解题技法] 应用简单随机抽样应注意的问题
(1)一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：一是抽签是否方便；二是号签是否易搅匀．一般地，当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法．
(2)在使用随机数法时，如遇到三位数或四位数，可从选择的随机数表中的某行某列的数字计起，每三个或四个作为一个单位，自左向右选取，有超过总体号码或出现重复号码的数字舍去．
[题组训练]
1．总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为( )
7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481 A.08 C．02
B．07 D．01
解析：选D 由随机数法的随机抽样的过程可知选出的5个个体是08,02,14,07,01，所以第5个个体的编号是01.
2．利用简单随机抽样，从n个个体中抽取一个容量为10的样本．若第二次抽取时，余1
下的每个个体被抽到的概率为，则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的概率为( )
3
1A. 45C. 14
91
解析：选C 根据题意，＝，
n－13解得n＝28.
105
故在整个抽样过程中每个个体被抽到的概率为＝.
2814考点二 系统抽样
[典例] (1)某校为了解1 000名高一新生的身体生长状况，用系统抽样法(按等距的规则)抽取40名同学进行检查，将学生从1～1 000进行编号，现已知第18组抽取的号码为443，则第一组用简单随机抽样抽取的号码为( )
A．16 C．18
B．17 D．19 1
B. 310D. 27
(2)中央电视台为了解观众对某综艺节目的意见，准备从502名现场观众中抽取10%进行座谈，现用系统抽样的方法完成这一抽样，则在进行分组时，需剔除________个个体，抽
样间隔为________．
[解析] (1)因为从1 000名学生中抽取一个容量为40的样本，所以系统抽样的分段间1 000隔为＝25，
40
设第一组随机抽取的号码为x，
则抽取的第18组编号为x＋17×25＝443，所以x＝18.
(2)把502名观众平均分成50组，由于502除以50的商是10，余数是2，所以每组有10名观众，还剩2名观众，采用系统抽样的方法抽样时，应先用简单随机抽样的方法从502名观众中抽取2名观众，这2名观众不参加座谈；再将剩下的500名观众编号为1,2,3，…，500
500，并均匀分成50段，每段含＝10个个体．所以需剔除2个个体，抽样间隔为10.
50
[答案] (1)C (2)2 10
[变透练清]
1.?变结论?若本例(1)的条件不变，则编号落入区间[501,750]的人数为________． 1 000
解析：从1 000名学生中抽取一个容量为40的样本，系统抽样分40组，每组＝25
40个号码，每组抽取一个，从501到750恰好是第21组到第30组，共抽取10人．
答案：10
2．(2018·南昌摸底调研)某校高三(2)班现有64名学生，随机编号为0,1,2，…，63，依编号顺序平均分成8组，组号依次为1,2,3，…，8.现用系统抽样方法抽取一个容量为8的样本，若在第1组中随机抽取的号码为5，则在第6组中抽取的号码为________．
64
解析：由题知分组间隔为＝8，又第1组中抽取的号码为5，所以第6组中抽取的号
8码为5×8＋5＝45.
答案：45
[解题技法] 系统抽样中所抽取编号的特点
系统抽样又称等距抽样，所以依次抽取的样本对应的号码就是一个等差数列，首项就是第1组所抽取样本的号码，公差为间隔数，根据等差数列的通项公式就可以确定每一组内所要抽取的样本号码．
[提醒] 系统抽样时，如果总体中的个数不能被样本容量整除时，可以先用简单随机抽样从总体中剔除几个个体，然后再按系统抽样进行．
考点三 分层抽样