发布时间 : 星期五 文章解圆锥曲线问题常用方法更新完毕开始阅读
x22例6、求直线3x-4y+10=0与椭圆2?y?1(a>0)有公共点时a的取值范围
a 分析:将直线方程代入椭圆方程消元得一元二次方程应有解,用判别式△≥0可求得a的取值范围。也可考虑另一代入顺序，从椭圆方程出发设公共点P（用参数形式），代入直线方程，转化为三角问题：asinx+bcosx=c何时有解。
解法一：由直线方程
3x-4y+10=0
得y?35135代入椭圆方程得2x2?(x?)2?1∴x?4242a(1921521?)x?x??0
44a216△≥0，得(27152211928，又a>0,∴a? )?4??(2?)?0解得a2?344a163 解法二：设有公共点为P，因公共点P在椭圆上，利用椭圆方程设P（acos?，sin?）再代入直线方程得3acos?-4sin?+10=0
4sin?-3acos?=10。
49a?162sin??3a9a?162cos??109a?162
令sinα=
3a9a?162，cosα=
49a?162，
则sin(?-α)=
109a?162
2，
由sin(???)?1 即sin(?-α)≤1得
1002822
∴9a≥84，a≥(a>0) ?1239a?16221∴a≥3
点评：解法1，2给出了两种不同的条件代入顺序，其解法1的思路清晰，是常用方法，但运算量较大，对运算能力提出较高的要求，解法2先考虑椭圆，设公共点再代入直线，技巧性强，但运算较易，考虑一般关系：“设直线l：Ax+By+C=0
22与椭圆x?y?1有公共点,求应满足的条件”此时，若用解法一则难于运算，而用解法二，设有公共点P，利用椭圆，
a2b2设P（acos?，bsin?）代入直线方程得Aacos?+Bbsin?=-C。
∴
?C22222
?1时上式有解。 ∴C≤Aa+Bb 2222Aa?Bb因此，从此题我们可以体会到条件的代入顺序的重要性。
【同步练习】
1、若实数x、y满足x+y-2x+4y=0，则x-2y的最大值是（ ）
2
2
A、5 B、10 C、9 D、5+25
2、若关于x的方程1?x2?k(x?2)有两个不等实根，则实数k的取值范围是 （ ） A、(?33,)B、(?3,3)C、????33?2231??13? 3?D、????,0??3,?2???2,3?3?????3、方程(x?3)?(y?1)?x?y?3?0表示的图形是（ ） A、椭圆 B、双曲线 C、抛物线 D、以上都不对
4、已知P、Q分别在射线y=x(x>0)和y=-x(x>0)上，且△POQ的面积为1，（0为原点），则线段PQ中点M的轨迹为（ ） A、双曲线x-y=1 B、双曲线x-y=1的右支 C、半圆x+y=1(x<0) D、一段圆弧x+y=1(x>
2
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2) 25、一个等边三角形有两个顶点在抛物线y=20x上，第三个顶点在原点，则这个三角形的面积为 6、设P(a,b)是圆x+y=1上的动点，则动点Q(a-b,ab)的轨迹方程是 7、实数x、y满足3x+2y=6x，则x+y的最大值为
2
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2
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8、已知直线l：2x+4y+3=0，P是l上的动点，O为坐标原点，点Q分OP为1：2，则点Q的轨迹方程为
x2y2??1在第一象限上一动点P，若A(4，0)，B(0，3)，O(0，0)，则S四边形APBO的最大值为 9、椭圆16910、已知实数x、y满足x+y=4，求证：(x?2)?(y?1)?
11、△ABC中,A(3,0)BC?2，BC在y轴上，且在[-3,3]间滑动，求△ABC外心的轨迹方程。
12、设A、B是抛物线y=2Px(p>0)上的点,且∠AOB=90°（O为原点）。求证：直线AB过定点。
参考答案
1、B
22
x-2y=b，圆(x-1)+(y+2)=5，由(1，2)到x-2y-b=0的距离等于5得
2
2225 21?4?b5?5，∴b=0或b=10
则b的最大值为10，选B。
或用参数法，令x?1?5cos?,y??2?5sin?代入得
x?2y?5?5cos??25sin??5?5(525cos??sin?)?5?5sin(???) 最大值为10。选B 55选C
2、C作图，知当k??????3?,0?时，直线y=k(x-2)与半圆有两交点， 3?223、B
方程即(x?3)?(y?1)?2?x?y?32
令F(-3,1) P(x,y), l: x-y+3=0, PH⊥l于H 则
PFPH?2，由双曲线第二定义知选B。
则
2
4、B
用“点参数”法，设P(x1,x1)(x1>0)，Q(x2,-x2)(x2>0) 则2x=x1+x2，2y=x1-x2，∴(2x)-(2y)=4x1x2 5、12003。
222
2
2
12x1?2x2?1，∴x1x2=1，设M(x，y)， 2则x-y=1(x>0)。选B
2222
设此三角形为△OAB，设A(x1,y1)，B(x2,y2)由OA?OB得x1?y1?x2?y2，
∴x1?20x1?x2?20x2 (x1-x2)(x1+x2+20)=0，∵x1>0，x2>0 ∴x1=x2 则y1?y2，y1=-y2，∴A、B关于x轴对称，A、B在y=?223x上 3将y?3x代入y2=20x得A(60,203)，∴B(60,-203) 33(403)2?12003 4
6、x+4y=1
则x+4y=1
2
2
2
2
边长为403面积为
令a=cosθ，bsinθ，则Q(cos2θ,
1sin2θ)，设Q(x，y) 22
7、
10+1 23(x-1)+2y=3, (x-1)+
22
22y?1 3令x-1=cos?，y=
33sin?，则x+y=cos?+sin?+1 22最大值为1?310?1??1 228、2x+4y+1=0
11x10?y12,y?2 设Q(x，y)，P(x1，y1)，则x?111?1?220?
∴2×3x+4×3y+3=0即2x+4y+1=0
∴x1=3x，y1=3y ， ∵2x1+4y1+3=0 9、62
设P(4cos?,3sin?)(0
?) 2S?S?S??11??4?3sin???3?4cos??6(sin??cos?)?62sn(??) 当?=时,S四边形APBO四边形APBO?OAP?OBP224的最大值为62
10、证明：设P(x,y)，A(-2，1)则(x?2)2?(y?1)2?PA2 过A作AH⊥l交于H，其中l：x+y=4 则AH??2?1?4552252?2 ∴PA?AH?2，则PA?2 当P在H(
122,72)时取等号 ∴(x?2)?(y?1)2?252 11、解：设C在B的上方，设B(0,t)， 则C(0,t+2)，-3≤t≤1 设外心为M(x,y)，因BC的中垂线为y=t+1 ①
AB中点为(3,tt22) ，kAB??3 AB的中垂线为y?t332?t(x?2) ② 由①、②消去t得y2?6(x?43)(?2?y?2)这就是点M的轨迹方程。
12、解：设OA：y=kx，代入y2=2px得k2x2
=2px则x?2p2p2p2pk2,y?k ∴A(k2,k)
同理由OB：y=-1kx 可得B(2pk2
,-2pk)
2p?2pk1?kkAB?k2p?k?1?k2111?k2 k2?2pkk2?k2k?k∴AB:y2pk?k21?k2(x?2pk) 令x=2p得y=0，说明AB恒过定点（2p，0）
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