发布时间 : 星期一 文章2020年高考数学（文）之纠错笔记专题08 立体几何更新完毕开始阅读
由于AD＝2 cm，BC＝10cm，∠ABC＝60°，在Rt△BCF中，BF＝5 cm，FC＝53 cm. 由AD∥BC得，∠DAE＝∠ABC＝60°.在Rt△ADE中，DE＝3 cm，AE＝1 cm.
又在等腰梯形ABCD中可求得AB＝8 cm，AF＝AB－BF＝8－5＝3(cm)，EF＝AE＋AF＝4 cm.
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所以旋转后所得几何体的体积为V＝π·BF·FC2＋π·EF·(DE2＋FC2＋DE·FC)－π·AE·DE2＝π×5×(53)2
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＋π×4×[(3)2＋(53)2＋3×53]－π×1×(3)2＝248π(cm3)，即所得的旋转体的体积为248π cm3. 33
本题易将所得旋转体漏掉扣除以圆台上底面为底面，高为1 cm的圆锥的体积而错选C.
易错点5 问题考虑不全面致错
已知半径为10的球的两个平行截面圆的周长分别是12π和16π，则这两个截面圆间的距离
为 . 【错解】2
如图，设球的大圆为圆O，C，D分别为两截面圆的圆心，AB为经过点C，O，D的直径，由题中条件可得两截面圆的半径分别为6和8.在Rt△COE中，OC?102?62?8.在Rt△DOF中，OD?102?82?6.所以CD=OC?OD=8?6=2，故这两个截面圆间的距离为2.
【错因分析】错解中由于对球的结构把握不准，考虑问题不全面而导致错误.事实上，两个平行截面既可以在球心的同侧，也可以在球心的两侧.
【试题解析】如上图，设球的大圆为圆O，C，D为两截面圆的圆心，AB为经过点C，O，D的直径，由题中条件可得两截面圆的半径分别为6和8.
当两截面在球心同侧时，CD?OC?OD?102?62?102?82?2； 当两截面在球心两侧时，CD?OC?OD?102?62?102?82?14. 综上可知，两截面圆间的距离为2或14. 【参考答案】2或14
1．球的有关问题
（1）确定一个球的条件是球心和球的半径，已知球的半径可以利用公式求球的表面积和体积；反之，已知球的体积或表面积也可以求其半径. （2）球与几种特殊几何体的关系：
①长方体内接于球，则球的直径是长方体的体对角线长； ②正四面体的外接球与内切球的球心重合，且半径之比为3∶1；
③直棱柱的外接球：找出直棱柱的外接圆柱，圆柱的外接球就是所求直棱柱的外接球.特别地，直三棱柱的外接球的球心是上、下底面三角形外心连线的中点；
④球与圆柱的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆柱的高，也等于圆柱底面圆的直径； ⑤球与圆台的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆台的高．
（3）与球有关的实际应用题一般涉及水的容积问题，解题的关键是明确球的体积与水的容积之间的关系，正确建立等量关系.
（4）有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将空间几何问题转化为平面中圆的有关问题解决.球心到截面的距离d与球的半径R及截面圆的半径r之间满足关系式：d?2．求解空间几何体表面积和体积的最值问题有两个思路：
一是根据几何体的结构特征和体积、表面积的计算公式，将体积或表面积的最值转化为平面图形中的有关最值，根据平面图形的有关结论直接进行判断；
二是利用基本不等式或是建立关于表面积和体积的函数关系式，然后利用函数的方法或者利用导数方法解决.
R2?r2.
5．如图所示，在长方体中，AB?4cm,AD?2cm,AA1?3cm,则在长方体表面上连接A、C1两点的所有
曲线长度的最小值为__________．
【答案】41 【解析】将长方体的面分别展开平铺，当四边形AA1D1D和四边形DD1C1C在同一平面内时，最小距离为四边形AAC45；当四边形AA1B1B和四边形BB1C1C在11C的对角线，长度是3?(4?2)?同一平面内时，最小距离为四边形AAC长度是3?(4?2)?45；四边形ABCD和11C的对角线，四边形CDD1C1在同一平面内时，最小距离为四边形ABC1D1的对角线，长度是4?(2?3)?41，所以最小距离是41．
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将空间几何体的表(侧)面展开，化折(曲)为直，使空间图形问题转化为平面图形问题，即空间问题平面化，是解决立体几何问题最基本的、最常用的方法，将空间图形展开成平面图形后，弄清几何中的有关点和线在展开图中的相应关系是解题的关键．
该题考查的是几何体的表面距离的最值问题，结合平面内连接两点的直线段是最短的，所以将长方体的侧面沿着不同的方向展开，使得两个点落在同一平面内，利用勾股定理来求解，选出最小的那个就是，容易出错的地方在于考虑不全面，沿着一个方向展开求得结果，从而出现错误．
易错点6 应用公理或其推论时出错
已知A，B，C，D，E五点中，A，B，C，D共面，B，C，D，E共面，则A，B，C，D，E五点一
定共面吗？
【错解】A，B，C，D，E五点一定共面.
因为A，B，C，D共面，所以点A在B，C，D所确定的平面内， 因为B，C，D，E共面，所以点E也在B，C，D所确定的平面内，
所以点A，E都在B，C，D所确定的平面内，即A，B，C，D，E五点一定共面.
【错因分析】错解忽略了公理2中“不在一条直线上的三点”这个重要条件.实际上B，C，D三点有可能共线. 【试题解析】（1）如果B，C，D三点不共线，则它们确定一个平面α. 因为A，B，C，D共面，所以点A在平面α内， 因为B，C，D，E共面，所以点E在平面α内，
所以点A，E都在平面α内，即A，B，C，D，E五点一定共面. （2）若B，C，D三点共线于l，
若A?l，E?l，则A，B，C，D，E五点一定共面；
若A，E中有且只有一个在l上，则A，B，C，D，E五点一定共面； 若A，E都不在l上，则A，B，C，D，E五点可能不共面. 【参考答案】见试题解析.
在立体几何中，空间点、线、面之间的位置关系不确定时，要注意分类讨论，避免片面地思考问题.对