发布时间 : 星期六 文章銆愰檮20濂楅珮鑰冩ā鎷熻瘯棰樸�?020灞婂北涓滅渷鑿忔辰甯傝弿娉界涓�涓楂樿�冩暟瀛︽ā鎷熻瘯鍗峰惈绛旀 - 鐧惧害鏂囧簱更新完毕开始阅读
（II）若关于x的不等式f?x????a?2?1?x?ax?1恒成立,求整数a的最小值； 2??（III）若正实数x1,x2满足f?x1??f?x2??2x12?x22?x1x2?0,证明x1?x2???5?1. 2请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.
22. （本小题满分10分）如图在?ABC中，?C于点D，圆O是?BDE外接圆. （I）求证AC是圆O的切线； （II）如果AD?6,AE?6?90?，BE是?CBD的平分线，DE?BE交AB2,求BC的长.
23．（本题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程
?x＝2cosφ?x＝m＋tcosα已知直线l?(t为参数，α≠kπ，k∈)经过椭圆C?（φ为参数）的左焦点F，
?y＝tsinα?y＝3sinφ
（I）求m的值；（II）设直线l与椭圆C交于A，B两点，求|FA|×|FB|的最小值。 24．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 已知函数f(x)＝|x－a|.
（I）若f(x)≤m的解集为{x|－1≤x≤5}，求实数a、m的值； （II）当a＝2且0≤t≤2时，解关于x的不等式f(x)＋t≥f(x＋2)
2015全国统一考试理科数学
参考答案
CBAC ADDA CADA ?x?R,x?2x?3?0 6 + ? 2n(2n?1)32n?2E (,CA17. 解：（Ⅰ）Qsin(?A)?cosA，?cosA?11 )U(3,95OD?7)
Bπ25311，又Q0?A?π，?sinA?. 14141πQcos(π?B)??cosB??，且0?B?π， ?B?.……6分
32aba?sinB（Ⅱ）由正弦定理得，?b??7，另由b2?a2?c2?2accosB得?sinAsinAsinB49?25?c2?5c，解得c?8或c??3（舍去），?b?7，c?8.……12分
18. 解：（Ⅰ）设事件A为“两手所取的球不同色”，则P(A)?1?2?3?3?3?4?32?. ……5分（Ⅱ）
9?9322C2?C32?C45依题意， 左手所取的两球颜色相同的概率为， ?C9218C32?C32?C321右手所取的两球颜色相同的概率为?，………7分
C924X的可能取值为0,1,2．
5??1?1331351517?，P(X?1)?P(X?0)??1???1??????(1?)?(1?)??，
18418418?18??4?18424P(X?2)?515， ……10分 ??18472Ｘ Ｐ 0 1 2 zB1DA1C1所以Ｘ的分布列为：
13 247 185 72E(X)?0?137519. ……12分 ?1??2??24187236ExBACy19. （Ⅰ）证明：QAE?A1B1 ，A1B1∥AB, ?AB?AE, 又QAB?AA1, FAE?AA1?A,?AB?面A1ACC1， 又QAC?面A1ACC1,
?AB?AC,以A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系 A?xyz,
则A?0,0,0?,E?0,1,?,F?,,0?,A1(0,0,1),B1(1,0,1)设D?x,y,z? ，A1D??A1B1 , 且??[0,1],
??1?2??11?22??uuuuvuuuuvuuuv?1uuuv?11??即：?x,y,z?1????1,0,0?,?D??,0,1? , ?DF????,,?1? ?AE??0,1,?,
22??2??uuuvuuuv11?DFgAE???0, ?DF?AE. ………6分
22uuur?111?vuuuv?11?（Ⅱ）设面DEF的法向量为 n??x,y,z? ，QFE???,,?， DF????,,?1?
2?222??2?3?11?1x?zvuuuv?x?y?z?0??21?????ngFE?022?2?v 则 ?vuuu， ，??， 即： ?
111?2????ngDF?0?????x?y?z?0?y?z??222?1???????vuv 令z?2?1???,?n??3,1?2?,2?1???? . 由题可知面ABC的法向量m??0,0,1? , ……9分
Q平面DEF与平面ABC 所成锐二面的余弦值为
14 . 14uvvmgnuvv2?1???1414 ?cosm,n?u, 即： , ?vv?221414mn9??1?2???4?1????? ???177或??. 又Q??[0,1],???舍去. ? 点D为A1B1中点. ………12分 244uuuruuur4b2220.解：（Ⅰ）F(c,0),A(0,b)，由题设可知FA?FP?0，得c?c??0………1分
33
216b又点P在椭圆C上，?2?2?1,?a2?2b2?c2?a2?2 解得，c?1,b2?1
9a9b
x2故所求椭圆的方程为?y2?1 ………5分
2（Ⅱ）当直线l的斜率存在时，设其方程为y?kx?m，代入椭圆方程，消去y， 整理得(2k2?1)x2?4kmx?2m2?2?0
（﹡）
方程（﹡）有且只有一个实根，又2k2?1?0，所以??0,得m2?2k2?1 ………8分 假设存在M1(?1,0),M2(?2,0)满足题设，则由 d1?d2?(?1k?m)(?2k?m)k2?1??1?2k2?(?1??2)km?2k2?1k2?1(?1?2?2)k2?(?1??2)km?1??1对任意的实数
k2?1k恒成立,
????2?1???1????1所以， ?12 解得，?1当直线l的斜率不存在时，经检验符合题意. 或?1????0???1??1?12?2?2
总上，存在两个定点M1(1,0),M2(?1,0)，使它们到直线l的距离之积等于1 ……12分
1?2x2?x?121. 解：（Ⅰ）f?(x)??2x?1?(x?0) ， 由f?(x)?0，得2x2?x?1?0，
xx又x?0，所以x?1．所以f(x)的单调减区间为(1,??)． ……3分 （Ⅱ）令g(x)?f(x)?[(?1)x2?ax?1]?lnx?ax2?(1?a)x?1，
a2121?ax2?(1?a)x?1所以g?(x)??ax?(1?a)?．
xx当a≤0时，因为x?0，所以g?(x)?0．所以g(x)在(0,??)上是递增函数， 又因为g(1)?ln1?13a?12?(1?a)?1??a?2?0， 22a2所以关于x的不等式f(x)≤(?1)x2?ax?1不能恒成立 ．……5分
11a(x?)(x?1)?g(x)?0?ax2?(1?a)x?1x?当a?0时，，令，得． ag?(x)???axx所以当x?(0,)时，g?(x)?0；当x?(,??)时，g?(x)?0，
1a1a因此函数g(x)在x?(0,)是增函数，在x?(,??)是减函数．
1a1a故函数g(x)的最大值为g()?ln1a11111?a?()2?(1?a)??1??lna．……7分 a2aa2a令h(a)?111?lna，因为h(1)??0，h(2)??ln2?0，因为h(a)在a?(0,??)是减函数． 2a24所以当a≥2时，h(a)?0．所以整数a的最小值为2． ……9分
2222（Ⅲ）由f(x1)?f(x2)?2(x1?x2)?x1x2?0，即lnx1?x1?x1?lnx2?x2?x2?x1x2?0，
2从而(x1?x2)?(x1?x2)?x1?x2?ln(x1?x2) 令t?x1?x2，则由?(t)?t?lnt得，??(t)?t?1 ，t可知，?(t)在区间(0,1)上单调递减，在区间(1,??)上单调递增．所以?(t)≥?(1)?1， 所以
(x1?x2)2?(x1?x2)≥15?1，又x1?x2?0，因此x1?x2?成立． ……12分
2
22.(1)证明:连接OE.???????????????????QOE?OB,??OEB?OBE.??????????????????又QBE平分?CBD,????????????????????CBE??DBE,????????????????????OEB??CBE,?EO//CB.??????????????????又Q?C?90?，??AEO?90?,即AC?OE.
因为E是圆O半径OE的外端，所以AC是圆O的切线....5分
??(2)解:????QAC是圆O的切线，????????????????AE2?AD?AB.??????????????又QAE?62，AD?6，???????????????62
??2?6?AB.??????????????AB?12，则?OD?OB?3.AOOE93?????????????QEO//CB,???,??,BC?4.............10分ABBC12BC?x＝2cosφx2y2
23．解：(Ⅰ)∵椭圆C? 的普通方程为＋＝1，……1分，∴F(－1，0)
43?y＝3sinφ?x＝m＋tcosα
∵直线l?的普通方程为y＝tanα(x－m)，……3分.
?y＝tsinα
∵α≠kπ，k∈∴tanα≠0 ……4分
∵0＝tanα(－1－m)∴m＝－1………5分
?x＝－1＋tcosαx2y2
(Ⅱ)将直线的参数方程? 代入椭圆C的普通方程＋＝1，并整理，
43?y＝tsinα
得(3cos2α＋4sin2α)t2－6tsosα－9＝0………6分
设点A，B在直线参数方程中对应的参数分别为t1，t2，则|FA|×|FB|＝|t1t2|………8分 999
＝ 当sinα＝±1时|FA|×|FB|最小值为．……………..10分
43cos2α＋4sin2α3+sin2α
24．解：(Ⅰ)∵|x－a|≤m，∴－m＋a≤x≤m＋a．……1分 ∵－m＋a＝－1，m＋a＝5，……2分 ∴a＝2，m＝3 …………4分)
(Ⅱ)f(x)＋t≥f(x＋2)化为|x－2|＋t≥|x)．……………..5分
E
CAD?OBt当x∈(－∞，0)时，2－x＋t≥－x，2＋t≥0∵0≤≤1∴x∈(－∞，0)
2
tttt
当x∈[0，2)时，2－x＋t≥x，x≤1＋，0≤x≤1＋，∵1≤1＋≤2∴0≤x≤1＋ …………7分
2222当x∈[2，＋∞)时，x－2＋t≥x，t≥2，∵当0≤t＜2时，∴x∈?；当t＝2时x∈[2，＋∞)……8分