发布时间 : 星期三 文章1987年-2014考研数学一历年真题完整版(Word版)更新完毕开始阅读
1993年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)函数F(x)??(2?1x1)dt(x?0)的单调减少区间为_____________. t
3x2?2y2?12(2)由曲线 绕y轴旋转一周得到的旋转面在点(0,3,2)处的
z?0指向外侧的单位法向量为_____________.
(3)设函数f(x)??x?x2(???x??)的傅里叶级数展开式为
a0???(ancosnx?bnsinnx),则其中系数b3的值为_____________. 2n?1(4)设数量场u?lnx2?y2?z2,则div(gradu)=_____________. (5)设n阶矩阵A的各行元素之和均为零,且A的秩为n?1,则线性方程组
AX?0的通解为_____________.
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(1)设f(x)??sinx0sin(t2)dt,g(x)?x3?x4,则当x?0时,f(x)是g(x)的
(B)同价但非等价的无穷小 (D)低价无穷小
(A)等价无穷小 (C)高阶无穷小
(2)双纽线(x2?y2)2?x2?y2所围成的区域面积可用定积分表示为
??(A)2?cos2?d?
40
(B)4?4cos2?d?
0?(C)2?40cos2?d?
1?(D)?4(cos2?)2d?
20(3)设有直线l1:(A)
x?y?6x?1y?5z?8l:与 则l1与l2的夹角为 ??22y?z?31?21? 6 (B)
? 4(C)
? 3
L (D)
? 2(4)设曲线积分?[f(t)?ex]sinydx?f(x)cosydy与路径无关,其中f(x)具有一阶连续导数,且f(0)?0,则f(x)等于
e?x?ex(A)
2
ex?e?x(B)
2ex?e?x(D)1?
2ex?e?x?1 (C)2
?123??,P为三阶非零矩阵,且满足PQ?0,则 24t(5)已知Q??????369??
(A)t?6时P的秩必为1 (B)t?6时P的秩必为2
(C)t?6时P的秩必为1 (D)t?6时P的秩必为2
三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)
21(1)求lim(sin?cos)x.
x??xx(2)求?xexe?1xdx.
(3)求微分方程x2y??xy?y2,满足初始条件y
四、(本题满分6分)
x?1?1的特解.
计算??2xzdydz?yzdzdx?z2dxdy,其中?是由曲面z?x2?y2与
?z?2?x2?y2所围立体的表面外侧.
五、(本题满分7分)
(?1)n(n2?n?1)求级数?的和. n2n?0?
六、(本题共2小题,每小题5分,满分10分)
(1)设在[0,??)上函数f(x)有连续导数,且f?(x)?k?0,f(0)?0,证明f(x)在
(0,??)内有且仅有一个零点.
(2)设b?a?e,证明ab?ba.
七、（本题满分8分）
22?3x3?2ax2x3(a?0)通过正交变换化成标已知二次型f(x1,x2,x3)?2x12?3x222?5y3,求参数a及所用的正交变换矩阵. 准形f?y12?2y2
八、（本题满分6分）
设A是n?m矩阵,B是m?n矩阵,其中n?m,I是n阶单位矩阵,若AB?I,证明
B的列向量组线性无关.
九、（本题满分6分）
设物体A从点(0,1)出发,以速度大小为常数v沿y轴正向运动.物体B从点
(?1,0)与A同时出发,其速度大小为2v,方向始终指向A,试建立物体B的运动轨
迹所满足的微分方程,并写出初始条件.
十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上) (1)一批产品共有10个正品和2个次品,任意抽取两次,每次抽一个,抽出后不再放回,则第二次抽出的是次品的概率为____________.
(2)设随机变量X服从(0,2)上的均匀分布,则随机变量Y?X2在(0,4)内的概率分布密度fY(y)=____________.
十一、（本题满分6分）
1设随机变量X的概率分布密度为f(x)?e?x,???x???.
2(1)求X的数学期望EX和方差DX.
(2)求X与X的协方差,并问X与X是否不相关? (3)问X与X是否相互独立?为什么?
1994年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)
11(1)limcot?( ?)= _____________. x?0sinxx(2)曲面z?ex?2xy?3在点(1,2,0)处的切平面方程为_____________.
?xx1?2u(3)设u?esin,则在点(2,)处的值为_____________.
y??x?yx2y2(4)设区域D为x?y?R,则??(2?2)dxdy=_____________.
abD22211(5)已知α?[1,2,3],β?[1,,],设A?α?β,其中α?是α的转置,则
23An=_____________.
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(1)设
??sinx4342M???cosxdx,N???(sinx?cosx)dx,P??2?(x2sin3x?cos4x)dx,则有 2?1?x??2222?(A)N?P?M (C)N?M?P (B)M?P?N (D)P?M?N
(2)二元函数f(x,y)在点(x0,y0)处两个偏导数fx?(x0,y0)、fy?(x0,y0)存在是
f(x,y)在该点连续的
(A)充分条件而非必要条件 (C)充分必要条件 条件
?2n
? (B)必要条件而非充分条件 (D)既非充分条件又非必要
(3)设常数??0,且级数?a收敛,则级数?(?1)nn?1ann??2
n?1(A)发散 (C)绝对收敛 (4)limx?0
?x2
) (B)条件收敛
(D)收敛性与?有关
atanx?b(1?cosx)cln(1?2x)?d(1?e?2,其中a2?c2?0,则必有