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圆锥曲线与射影几何
射影几何是几何学的重要内容，射影几何中的一些重要定理与结论往往能运用在欧式几何中，有利于我们的解题。在这里，我们将对解析几何中一些常见的圆锥曲线问题进行总结，并给中一些较为方便的解法。
例1：设点A(-1,0),B(1,0),C(2,0), D在双曲线x2?y2?1的左支上，D?A,直线
CD交双曲线x2?y2?1的右支于点E。求证：直线AD与直线BE的交点P在直
线x?1上。 2如果是用解析几何的做法，这将是非常麻烦的。但是如果用射影几何的知识求解，将会有意想不到的效果。
我们知道，圆与圆锥曲线在摄影变换下是可以互相转换的。我们先不考虑题目中的数据与特殊的关系，仅仅考虑点线之间的位置关系，那么题设变成：
有一点
A在一条双曲线内部，过A引两条直线与双曲线分别交于B,C,D,E。连
BD，CE交于点P，且P点在四边形BCDE外部。
又因为双曲线与圆在射影几何中属同一个变换群，所以可以将双曲线变为圆。如图1 连
BE，CD交于点Q，连PQ，先证明：直线PQ是A点的极线。
PBHGDFCOAEQ
NPBMOAEDCQ证明： 对
C于C'重合，B于B'重合的六边形DCC'EBB'用帕斯卡定理得：
DC于EB的交点Q,CC'于BB'的交点M,C'E于DB'的交点P三点共线,
同理所以
P，Q，N三点共线
P，Q，M，N四点共线。
BC是M的极线，DE是N的极线，所以MN是BC与DE 的交点A又因为
的极线，即
PQ是A的极线。
OA?PQ，且FAGH为调与点列。
回到原图，由极线的定义与性质得
有了前面的铺垫再证例1就简单了。 证明： 过
P点作PH?X轴，则PH是C点的极线，AHBC为调与点列 A(-1,0), B(1,0), C(2,0)
因为
1所以H（,0）
2即
P在直线x?1上
2关于极线的知识，下文仍有用到，这里不再叙述。 例2：
M是抛物线y2?2px(p?0)的准线上的任意点，过M点作抛物线的切线
AB过定点。
l1,l2，切点分别为A,B(A在X轴的上方)。
（1） 求证：直线（2） 过
M作X轴的平行线l与抛物线交于P，与AB交于Q.
证明
MP?PQ。
l1AMPQlQl2
证明：
（1）同例一，我们很容易得到在准线上再取一点所以
AB是M的极线。
N，过N点作抛物线的切线l3,l4，切点为C,D,CD为N的极线
AB，CD的交点E的极线为MN AB过定点E
即直线
（2）易得因为所以
M，P，Q，以及l与抛物线另一端的交点M?为调与点列。
M?是无穷远点
MP?PQ，证毕。
仿射几何是射影几何的“子几何”，相对与射影几何，仿射几何有着更为丰富的性质。
2y例3：已知椭圆?2?1，求这个椭圆内接三角形的面积的最大值。 2abx2对于例3，因为面积不是射影不变量，所以我们不能单单用射影变换来解题。我们可以对变
换的条件加以限制，使之变成仿射变换，欧式平面上两个几何图形的面积比是仿射不变量。
(x,y)变成(x',y')，其中
ay' x?x，y'? b'''那么椭圆变成圆，?PQM变为?PQM，如图： 证明：我们把平面直角坐标系中的每一个点
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