发布时间 : 星期六 文章2016年山东省高考数学试卷(文科)(含详细答案解析)更新完毕开始阅读
（Ⅱ）求出小亮获得水杯与获得饮料的概率，即可得出结论．
【解答】解：（Ⅰ）两次记录的数为（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，2），（2，3），（2，4），（3，4），（2，1），（3，1），（4，1），（3，2），（3，3），（4，2），（4，3），（4，4），共16个，
满足xy≤3，有（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（3，1），共5个， ∴小亮获得玩具的概率为
；
（Ⅱ）满足xy≥8，（2，4），（3，4），（4，2），（4，3），（3，3），（4，4）共6个，∴小亮获得水杯的概率为小亮获得饮料的概率为1﹣
﹣； =
，
∴小亮获得水杯大于获得饮料的概率．
【点评】本题考查概率的计算，考查古典概型，确定基本事件的个数是关键．
17．（12分）设f（x）=2
sin（π﹣x）sinx﹣（sinx﹣cosx）2．
（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）把y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移值．
【分析】（Ⅰ）利用三角恒等变换化简f（x）的解析式，再利用正弦函数的单调性，求得函数的增区间．
（Ⅱ）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，从而求得g（
）的值．
sin（π﹣x）sinx﹣（sinx﹣cosx）2 =2
sin2x﹣
个单位，得到函数y=g（x）的图象，求g（
）的
【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=21+sin2x=2=sin2x﹣令2kπ﹣
?cos2x+≤2x﹣
﹣1+sin2x
﹣1=2sin（2x﹣≤2kπ+
）+﹣1， ≤x≤kπ+
，
，求得kπ﹣，kπ+
可得函数的增区间为[kπ﹣]，k∈Z．
第17页（共23页）
（Ⅱ）把y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得y=2sin（x﹣
）+
﹣1的图象；
个单位，得到函数y=g（x）=2sinx+．
﹣1的图象，
再把得到的图象向左平移∴g（
）=2sin
+
﹣1=
【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的单调性，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求函数的值，属于基础题．
18．（12分）在如图所示的几何体中，D是AC的中点，EF∥DB． （Ⅰ）已知AB=BC，AE=EC，求证：AC⊥FB；
（Ⅱ）已知G，H分别是EC和FB的中点，求证：GH∥平面ABC．
【分析】（Ⅰ）由条件利用等腰三角形的性质，证得BD⊥AC，ED⊥AC，再利用直线和平面垂直的判定定理证得AC⊥平面EFBD，从而证得AC⊥FB．
（Ⅱ）再取CF的中点O，利用直线和平面平行的判定定理证明 OG∥平面ABC，OH∥平面ABC，可得平面OGH∥平面ABC，从而证得GH∥平面ABC． 【解答】（Ⅰ）证明：如图所示，∵D是AC的中点，AB=BC，AE=EC， ∴△BAC、△EAC都是等腰三角形， ∴BD⊥AC，ED⊥AC．
∵EF∥DB，∴E、F、B、D四点共面，这样， AC垂直于平面EFBD内的两条相交直线ED、BD， ∴AC⊥平面EFBD．
显然，FB?平面EFBD，∴AC⊥FB．
（Ⅱ）已知G，H分别是EC和FB的中点，再取CF的中点O，
第18页（共23页）
则OG∥EF，又∵EF∥DB，故有OG∥BD， 而BD?平面ABC，∴OG∥平面ABC．
同理，OH∥BC，而BC?平面ABC，∴OH∥平面ABC． ∵OG∩OH=O，∴平面OGH∥平面ABC，∴GH∥平面ABC．
【点评】本题主要考查直线和平面垂直的判定和性质，直线和平面平行的判定与性质，属于中档题．
19．（12分）已知数列{an}的前n项和Sn=3n2+8n，{bn}是等差数列，且an=bn+bn+1． （Ⅰ）求数列{bn}的通项公式； （Ⅱ）令cn=
，求数列{cn}的前n项和Tn．
【分析】（Ⅰ）求出数列{an}的通项公式，再求数列{bn}的通项公式； （Ⅱ）求出数列{cn}的通项，利用错位相减法求数列{cn}的前n项和Tn． 【解答】解：（Ⅰ）Sn=3n2+8n， ∴n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=6n+5， n=1时，a1=S1=11，∴an=6n+5； ∵an=bn+bn+1， ∴an﹣1=bn﹣1+bn， ∴an﹣an﹣1=bn+1﹣bn﹣1． ∴2d=6， ∴d=3， ∵a1=b1+b2， ∴11=2b1+3，
第19页（共23页）
∴b1=4，
∴bn=4+3（n﹣1）=3n+1； （Ⅱ）cn=
=
=
=
=
==
=6（n+1）?2n，
∴Tn=6[2?2+3?22+…+（n+1）?2n]①，
∴2Tn=6[2?22+3?23+…+n?2n+（n+1）?2n+1]②， ①﹣②可得
﹣Tn=6[2?2+22+23+…+2n﹣（n+1）?2n+1] =12+6×
﹣6（n+1）?2n+1
=（﹣6n）?2n+1=﹣3n?2n+2， ∴Tn=3n?2n+2．
【点评】本题考查数列的通项与求和，着重考查等差数列的通项与错位相减法的运用，考查分析与运算能力，属于中档题．
20．（13分）设f（x）=xlnx﹣ax2+（2a﹣1）x，a∈R． （1）令g（x）=f′（x），求g（x）的单调区间；
（2）已知f（x）在x=1处取得极大值，求正实数a的取值范围．
【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数g（x）的单调区间即可；
（2）通过讨论a的范围，得到函数f（x）的单调区间，结合函数的极大值，求出a的范围即可．
【解答】解：（1）由f′（x）=ln x﹣2ax+2a， 可得g（x）=ln x﹣2ax+2a，x∈（0，+∞）， 所以g′（x）=﹣2a=
，
当a≤0，x∈（0，+∞）时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增； 当a＞0，x∈（0，
）时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增，
第20页（共23页）