发布时间 : 星期三 文章2017年山东省潍坊市高考数学一模预考数学试卷理科 含解析 精品更新完毕开始阅读
∴，
．…
又∵二面角D﹣AP﹣C的大小为锐角，∴该二面角的余弦值为
19．有人在路边设局，宣传牌上写有“掷骰子，赢大奖”．其游戏规则是这样的：你可以在1，2，3，4，5，6点中任选一个，并押上赌注m元，然后掷1颗骰子，连续掷3次，若你所押的点数在3次掷骰子过程中出现1次，2次，3次，那么2倍，3倍的奖励．原来的赌注仍还给你，并且庄家分别给予你所押赌注的1倍，如果3次掷骰子过程中，你所押的点数没出现，那么你的赌注就被庄家没收． （1）求掷3次骰子，至少出现1次为5点的概率；
（2）如果你打算尝试一次，请计算一下你获利的期望值，并给大家一个正确的建议．
【考点】离散型随机变量的期望与方差．
【分析】（1）掷3次骰子，至少出现1次为5点的对立事件是3次都没有出现5点，根据对立事件的性质，能求出掷3次骰子，至少出现1次为5点的概率． （2）试玩游戏，设获利ξ元，则ξ的可能取值为m，2m，3m，﹣m，分别求出相应的概率，由此能求出Eξ=﹣
＜0，建议大家不要尝试．
【解答】解：（1）掷3次骰子，至少出现1次为5点的对立事件是3次都没有出现5点，
∴根据对立事件的性质，掷3次骰子，至少出现1次为5点的概率： p=1﹣
=
．
（2）试玩游戏，设获利ξ元，则ξ的可能取值为m，2m，3m，﹣m， P（ξ=m）=
=
，
P（ξ=2m）=CP（ξ=3m）=P（ξ=﹣m）=∴Eξ=
×（）2×=
=
， ，
，
=﹣m，
∴Eξ＜0，建议大家不要尝试．
20．已知圆C1的圆心在坐标原点O，且与直线l1：上一动点，AM⊥x轴于点M，且动点N满足轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）若动直线l2：y=kx+m与曲线C有且仅有一个公共点，过F1（﹣1，0），F2（1，0）两点分别作F1P⊥l2，F2Q⊥l2，垂足分别为P，Q，且记d1为点F1到直d2为点F2到直线l2的距离，d3为点P到点Q的距离，线l2的距离，试探索（d1+d2）?d3是否存在最值？若存在，请求出最值． 【考点】直线与圆的位置关系．
x2+y2=R2，【分析】（1）设圆C1：根据圆C1与直线l1相切，求出圆的方程为x2+y2=12，由此利用相关点法能求出曲线C的方程．
y=kx+m代入曲线C的方程3x2+4y2=12中，x2+8kmx+4m2（2）将直线l2：得（4k2+3）﹣12=0，由此利用根的判别式、韦达定理、直线方程、椭圆性质、弦长公式，结合已知条件能求出（d1+d2）?d3存在最大值，并能求出最大值． 【解答】解：（1）设圆C1：x2+y2=R2，根据圆C1与直线l1相切， 得
R，即R=2
，
相切，设点A为圆
，设动点N的
∴圆的方程为x2+y2=12，
设A（x0，y0），N（x，y），∵AM⊥x轴于M，∴M（x0，0）， ∴（x，y）=（x0，y0）+（
）（x0﹣0）=（
），
∴，即，
∵点A（x0，y0）为圆C1上的动点， ∴∴
=12，∴（=1．
）2+（2y）2=12，
（2）由（1）中知曲线C是椭圆，
将直线l2：y=kx+m代入椭圆C的方程3x2+4y2=12中，得（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12=0
由直线l2与椭圆C有且仅有一个公共点知，△=64k2m2﹣4（4k2+3）（4m2﹣12）=0，
整理得m2=4k2+3…，且
，
，
1°当k≠0时，设直线l2的倾斜角为θ，则d3?|tanθ|=|d1﹣d2|，即∴
∵m2=4k2+3∴当k≠0时，∴
，∴
=…
… ，d3=2
2°当k=0时，四边形F1F2PQ为矩形，此时∴
…
综上1°、2°可知，（d1+d2）?d3存在最大值，最大值为
21．已知函数f（x）=x2﹣alnx．
…
（1）若f（x）在[3，5]上是单调递减函数，求实数a的取值范围；
（2）记g（x）=f（x）+（2+a）lnx﹣2（b﹣1）x，并设x1，x2（x1＜x2）是函数g（x）的两个极值点，若
，求g（x1）﹣g（x2）的最小值．
【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．
【分析】（1）令f′（x）≤0在[3，5]上恒成立，分离参数得a≥2x2，利用二次函数的单调性求出最值即可得出a的范围；
（2）令g′（x）=0，根据根与系数的关系可得x1+x2=b﹣1，x1x2=1，化简得g（x1）﹣g（x2）=2ln+（
﹣
），令
=t，根据b的范围得出t的范围，利用函数单
调性可求得h（t）=2lnt+（﹣t）的范围，得出结论．
【解答】解：（1）∵f（x）=x2﹣alnx在[3，5]上是单调减函数， ∴f′（x）=2x﹣≤0在[3，5]上恒成立， ∴a≥2x2恒成立，x∈[3，5]． ∵y=2x2在[3，5]上单调递增，
∴y=2x2在[3，5]上的最大值为2×52=50， ∴a≥50．
（2）g（x）=x2﹣alnx+（2+a）lnx﹣2（b﹣1）x=x2+2lnx﹣2（b﹣1）x， ∴g′（x）=2x+﹣2（b﹣1）=令g′（x）=0得x2﹣（b﹣1）x+1=0， ∴x1+x2=b﹣1，x1x2=1，
∴g（x1）﹣g（x2）=[x12+2lnx1﹣2（b﹣1）x1]﹣[x22+2lnx2﹣2（b﹣1）x2] =2ln
+（x12﹣x22）+2（b﹣1）（x2﹣x1）
，
=2ln
+（x12﹣x22）+2（x1+x2）（x2﹣x1）
=2ln
+x22﹣x12
=2ln+
=2ln+（﹣），
设=t，则0＜t＜1，