发布时间 : 星期日 文章第二十一讲 矩形 菱形 正方形更新完毕开始阅读
（3）当AD：AB= 时，四边形MENF是正方形（只写结论，不需证明） 7．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB=DC，∠A=∠D=90°， ∵M为AD中点， ∴AM=DM， 在△ABM和△DCM， ?AM?DM???A??D， ?AB?CD?∴△ABM≌△DCM（SAS）； （2）答：四边形MENF是菱形， 证明：∵N、E、F分别是BC、BM、CM的中点， ∴NE∥CM，NE=11CM，MF=CM， 22∴NE=FM，NE∥FM， ∴四边形MENF是平行四边形， ∵△ABM≌△DCM， ∴BM=CM， ∵E、F分别是BM、CM的中点， ∴ME=MF， ∴平行四边形MENF是菱形； （3）解：当AD：AB=2：1时，四边形MENF是正方形， 理由是：∵M为AD中点， ∴AD=2AM， ∵AD：AB=2：1， ∴AM=AB， ∵∠A=90∴∠ABM=∠AMB=45°， 同理∠DMC=45°， ∴∠EMF=180°-45°-45°=90°， ∵四边形MENF是菱形， ∴菱形MENF是正方形， 故答案为：2：1． 8．（2013?淄博）矩形纸片ABCD中，AB=5，AD=4． （1）如图1，四边形MNEF是在矩形纸片ABCD中裁剪出的一个正方形．你能否在该矩形中裁剪出一个面积最大的正方形，最大面积是多少？说明理由； （2）请用矩形纸片ABCD剪拼成一个面积最大的正方形．要求：在图2的矩形ABCD中画出裁剪线，并在网格中画出用裁剪出的纸片拼成的正方形示意图（使正方形的顶点都在网格的格点上）．
8．解：（1）正方形的最大面积是16．设AM=x（0≤x≤4），则MD=4-x． ∵四边形MNEF是正方形，
∴MN=MF，∠AMN+∠FMD=90°． ∵∠AMN+∠ANM=90°， ∴∠ANM=∠FMD． ∵在△ANM和△DMF中
??A??D? ??ANM??FMD， ?MN?FM?∴△ANM≌△DMF（AAS）． ∴DM=AN．
∴S正方形MNEF=MN2=AM2+AN2， =x2+（4-x）2， =2（x-2）2+8
∵函数 S正方形MNEF=2（x-2）2+8的开口向上， 对称轴是x=2，
在对称轴的左侧S随x的增大而减小，在对称轴的右侧S随x的增大而增大， ∵0≤x≤4，
∴当x=0或x=4时，
正方形MNEF的面积最大． 最大值是16．
（2）先将矩形纸片ABCD分割成4个全等的直角三角形和两个矩形如图1，然后拼成如图2的正方形．
9．（2013?济南）（1）如图1，已知△ABC，以AB、AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，连接BE，CD，请你完成图形，并证明：BE=CD；（尺规作图，不写做法，保留作图痕迹）；
（2）如图2，已知△ABC，以AB、AC为边向外作正方形ABFD和正方形ACGE，连接BE，CD，BE与CD有什么数量关系？简单说明理由； （3）运用（1）、（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：
如图3，要测量池塘两岸相对的两点B，E的距离，已经测得∠ABC=45°，∠CAE=90°，AB=BC=100米，AC=AE，求BE的长．
9．解：（1）完成图形，如图所示：
证明：∵△ABD和△ACE都是等边三角形， ∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，
∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，即∠CAD=∠EAB， ∵在△CAD和△EAB中，
?AD?AB???CAD??EAB， ?AC?AE?∴△CAD≌△EAB（SAS）， ∴BE=CD；
（2）BE=CD，理由同（1）， ∵四边形ABFD和ACGE均为正方形， ∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=90°， ∴∠CAD=∠EAB， ∵在△CAD和△EAB中， ?AD?AB???CAD??EAB， ?AC?AE?∴△CAD≌△EAB（SAS）， ∴BE=CD； （3）由（1）、（2）的解题经验可知，如图，过A作等腰直角三角形ABD，∠BAD=90°， 则AD=AB=100米，∠ABD=45°， ∴BD=1002米， 连接CD，则由（2）可得BE=CD， ∵∠ABC=45°，∴∠DBC=90°， 在Rt△DBC中，BC=100米，BD=1002米， 根据勾股定理得：CD=100?(1002)?1003米， 则BE=CD=1003米． 【备考真题过关】 一、选择题 1．（2013?铜仁地区）下列命题中，真命题是（ ） A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．对角线互相平分的四边形是平行四边形 D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形 1．C 2．（2013?宜宾）矩形具有而菱形不具有的性质是（ ） A．两组对边分别平行 B．对角线相等 C．对角线互相平分 D．两组对角分别相等 2．B
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