发布时间 : 星期三 文章数学苏教版选修2-1教案：3.1.3-4 空间向量基本定理 空间向量的坐标表示 Word版含解析更新完毕开始阅读
μ＝1??∴?λ＝1??λ＋μ＝0
，此方程组无解．
即不存在实数λ，μ，使得a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)成立，∴a＋b，b＋c，c＋a不共面． 故{a＋b，b＋c，c＋a}能作为空间的一个基底．
用基向量表示空间向量
图3－1－10
如图3－1－10，四棱锥P－OABC的
→→→
底面为矩形，PO⊥平面OABC，设OA＝a，OC＝b，OP＝c，E，F分别是PC，PB的中点，→→→→
试用a，b，c表示：BF，BE，AE，EF.
【思路探究】
选取基向量→观察空间图形→利用线性运算→用基底表示向量
→1→1→→
【自主解答】 连结OB，则BF＝BP＝(BO＋OP)
221→→→
＝(－OA－OC＋OP)＝ 2111－a－b＋c. 222
→→→1→1→→BE＝BC＋CE＝－a＋CP＝－a＋(CO＋OP)
22
111
＝－a＋(－b＋c)＝－a－b＋c.
222
→→→→→1→→→1→→11
AE＝AP＋PE＝AO＋OP＋PC＝AO＋OP＋(PO＋OC)＝－a＋c＋(－c＋b)＝－a＋b
22221
＋c. 2
→1→1→1EF＝CB＝OA＝－a.
222
1．空间中的任一向量均可用一组不共面的向量来表示，只要基底选定，这一向量用基底表达的形式是惟一的．
2．用基底来表示空间中的向量是用向量解决数学问题的关键，解题时注意三角形法则以及平行四边形法则的应用．
图3－1－11
→→
如图3－1－11，在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，AB＝a，AD＝b，
＝
→→
c，M是CD′的中点，N是C′D′的中点，用基底{a，b，c}表示以下向量：(1)AM；(2)AN.
→1→
【解】 (1)AM＝(AC＋
21＋c. 2
1→→→)＝(AB＋AD＋AD＋2
11
)＝(a＋2b＋c)＝a＋b22
→1
(2)AN＝(
2
＋
1→→)＝[(AB＋AD＋2
→)＋(AD＋
→1→
)]＝(AB＋2AD
2