发布时间 : 星期二 文章2013高中数学 1-2 第1课时等差数列的概念及通项公式同步导学案 北师大版必修5更新完毕开始阅读
（4）等比数列通项公式的变形形式：若{an}是公比为q的等比数列，则对任意的m,n∈N+，有an=am·q. ∵an=a1q ①
n-1
n-mam=a1qm-1 ②
ana1qn?1n-mn-m由①÷②得==q，∴an=amq.
ama1qm?1这里的an=am·q可以看成是通项公式的另一种形式. 注意：
在已知a1和q的前提下，利用通项公式an=a1q可以求出等比数列中的任意一项;在已知等比数列任意两项的前提下，使用an=amq可求等比数列中任意一项. （5）用函数的观点看等比数列的通项
等比数列{an}的通项公式an=a1q，可以改写为an=
n-1
n-mn-1
n-ma1nx·q.当q>0，且q≠1时，y=q是一个指数函数，而qy=
a1axx·q是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列{an}的图像是函数y=1·q的图像上的一qq群孤立的点.
例如，当a1=1，q=2时，an=
11nx·2，表示这个数列各项的点就都在函数y=·2的图像上，如下图所示： 22
3.等比中项
(1)在a,b同号时，a,b的等比中项有两个，它们互为相反数；在a,b异号时，没有等比中项.
(2)在一个等比数列中，从第二项起（有穷数列的末项除外）每一项都是它的前一项与后一项的等比中项. (3)若a,b,c成等比数列，则b=ac;反过来，若b=ac，则a,b,c不一定成等比数列，如a=b=0. 特别地，若a,b,c均不为零时，则a,b,c成等比数列?b=ac.
2
2
2
(4)注意a,b,c成等比数列与b=ac是不等价的.
知能自主梳理
1.等比数列的定义 如果一个数列从
起，每一项与它的前一项的比都等于
，公比通常用字母
，那么这个数列叫做等比数
列，这个常数叫做等比数列的 2.等比数列的递推公式与通项公式
表示.
已知等比数列｛an｝的首项为a1,公比为q(q≠0), 填表：
递推公式
通项公式 45
an=q(n≥2) an?13.等比中项
（1）如果三个数x,G,y组成
an= ，则G叫做x和y的等比中项.
,即
.
（2）如果G是x和y的等比中项，那么
n-1
［答案］ 1.第2项 同一个常数 公比 q
2.a1q
3.等比数列 G=xy G=±
2
xy
思路方法技巧
命题方向 等比数列的判断
［例1］ 已知数列｛an｝的前n项和Sn=2an+1,求证：｛an｝是等比数列，并求出通项公式.
［分析］ 要证数列是等比数列，关键是看an与an-1之比是否为一个常数，由题设还须利用an=Sn-Sn-1 (n≥2),求得an.
［证明］ ∵Sn=2an+1,∴Sn+1=2an+1+1. ∴Sn+1-Sn=an+1=(2an+1+1)-(2an+1)=2an+1-2an. ∴an+1=2an. ① 又∵S1=a1=2a1+1,∴a1=-1≠0. 由①式可知，an≠0, ∴由
an?1n-1
=2知｛an｝是等比数列，an=-2. an［说明］ (1)本题证明，关键是用等比数列的定义，其中说明an≠0是非常重要的.证明中，也可以写出
n-1
Sn-1=2an-1+1,从而得到an=2an-1,只能得到n≥2时，｛an｝是等比数列，得到n≥2时，an=-2,再将n=1代入，
验证a1=-1也满足通项公式的要求.
（2）判断一个数列是否是等比数列的常用方法是： ①定义法
an?1=q(q为常数且不为零)? {an}为等比数列. an②等比中项法
an+12=anan+2 (n∈N+且an≠0) ? {an}为等比数列.
③通项公式法
an=a1qn-1 (a1≠0且q≠0) ?{an}为等比数列.
变式应用1 判断下列数列是否为等比数列. (1)1,3,3,?,3,?; (2)-1,1,2,4,8,?; (3)a,a,a,?,a,?.
［解析］ （1）此数列为等比数列，且公比为3. (2)此数列不是等比数列.
46
1
2
32
n-1
n
(3)当a=0时，数列为0,0,0,?,是常数列，不是等比数列；当a≠0时，数列为a,a,a,a,?,a,?,显然此数列为等比数列且公比为a. 命题方向 等比数列的通项公式的应用
［例2］ 在等比数列｛an｝中，已知a5-a1=15,a4-a2=6,求an.
［分析］ 本题可以列关于a1,q的方程组入手，解出a1与q,然后再求an. ［解析］ 设等比数列｛an｝的首项为a1,公比为q, a5-a1=a1q-a1=15 ① 因为 4
1234na4-a2=a1q3-a1q=6 ②
由
①1得q=或q=2.
2②当q=
1时，a1=-16. 21n-1n-1
）或an=2. 2当q=2时，a1=1, ∴an=-16×（
［说明］ 首项和公比是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，其他量便可迎刃而解.此类问题求解的通法是根据条件，建立关于首项和公比的方程组，求出首项和公比. 变式应用2 已知等比数列{an}中，a2+a5=18,a3+a6=9,an=1,求n. a1q+a1q=18 a1=32 ［解析］ 解法一：由题意得 ，解得 . 4
a1q2+a1q5=9 q=
∴an=a1q=32（
6-n0
1 2n-1
1n-1
）=1, 2∴2=2,∴n=6.
解法二：∵a3+a6=q(a2+a5), ∴q=
14
,又∵a1q+a1q=18, 21n-1
）=1, 2∴a1=32, ∴an=a1q=32×（解得n=6.
命题方向 等比中项的应用
［例3］ 等比数列｛an｝的前三项的和为168，a2-a5=42,求a5,a7的等比中项. ［分析］ 设出首项和公比→由题意列方程组→解方程组求q→求a1→求等比中项. ［解析］ 设该等比数列的首项为a1,公比为q,因为a2-a5=42,所以q≠1,由已知，得
47
n-1
a1+a1q+a1q2=168 a1（1+q+q2）=168 ，所以 ， a1q-a1q4=42 a1q(1-q3)=42 因为1-q=(1-q)(1+q+q), 所以由②除以①，得q(1-q)=
3
2
1. 4所以q=
1. 2所以a1=
42=96.
114?()222
4
6
210
2
若G是a5,a7的等比中项，则应有G＝a5a7=a1q·a1q=a1q=96×（所以a5,a7的等比中项是±3. ［说明］ 由等比中项的定义可知：110
）=9. 2Gb=只有同号的两项才有等比中项，?G2=ab?G=±ab.这表明：aG2
并且这两项的等比中项有两个，它们互为相反数.异号的两数没有等比中项.反之，若G＝ab(ab≠0),则
Gb2
=,即a,G,b成等比数列.所以a,G,b成等比数列?G=ab(ab≠0). aG变式应用3 若a,2a+2,3a+3成等比数列，求实数a的值. ［解析］ 因为a,2a+2,3a+3成等比数列， 所以（2a+2）=a(3a+3). 解得a=-1或a=-4.
因为当a=-1时，2a＋2，3a+3均为0，故应舍去. 故a的值为－4.
探索延拓创新
命题方向 等比数列的实际应用
［例4］ 据《中国青年报》2004年11月9日报导，卫生部艾滋病防治专家徐天民指出：前我国艾滋病的流行趋势处于世界第14位，在亚洲第2位，而且艾滋病毒感染者每年以40%的速度在递增，我国已经处于艾滋病暴发流行的前沿，我国政府正在采取有效措施，防止艾滋病蔓延，公元2004年我国艾滋病感染者至少有80万人，若不采取任何防治措施，则至少 到公元 lg7=0.8451) ［答案］ 2012
［解析］ 设x年后我国艾滋病毒感染者人数将达到1000万人，则80·(1+40%)=1000, 即（
x2
年后，我国艾滋病毒感染者将超过1000万人.(已知lg2=0.3010，lg3=0.4771，
7x1000）=， 58048