发布时间 : 星期二 文章2013高中数学 1-2 第1课时等差数列的概念及通项公式同步导学案 北师大版必修5更新完毕开始阅读
§2 等 差 数 列
第1课时 等差数列的概念及通项公式
知能目标解读
1.通过实例，理解等差数列的概念，并会用等差数列的概念判断一个数列是否为等差数列. 2.探索并掌握等差数列的通项公式的求法.
3.体会等差数列与一次函数的关系，能用函数的观点解决等差数列问题. 4.掌握等差中项的定义，并能运用它们解决问题. 5.能用等差数列的知识解决一些实际应用问题.
重点难点点拨
重点：等差数列的概念.
难点：等差数列的通项公式及其运用.
学习方法指导
1.等差数列的定义
（1）关于等差数列定义的理解，关键注意以下几个方面：
①如果一个数列，不是从第2项起，而是从第3项起或第4项起，每一项与它的前一项的差是同一个常数，那么这个数列不是等差数列.
②一个数列从第2项起，每一项与其前一项的差尽管等于常数，这个数列也不一定是等差数列，因为这些常数不一定相同，当这些常数不同时，此数列不是等差数列.
③求公差时，要注意相邻两项相减的顺序.d=an+1-an(n∈N+)或者d=an-an-1 (n∈N+且n≥2). （2）如何证明一个数列是等差数列?
要证明一个数列是等差数列，根据等差数列的定义，只需证明对任意正整数n,an+1-an是同 一个常数(或an-an-1 (n>1)是同一个常数).这里所说的常数是指一个与n无关的常数.
注意:判断一个数列是等差数列的定义式：an+1-an=d(d为常数).若证明一个数列不是等差数列，可举一个特例进行否定，也可以证明an+1-an或an-an-1 (n>1)不是常数，而是一个与n有关的变数即可. 2.等差数列的通项公式
（1）通项公式的推导常用方法： 方法一（叠加法）：∵{an}是等差数列， ∴an-an-1=d,an-1-an-2=d,
an-2-an-3=d,?, a3-a2=d,a2-a1=d.
将以上各式相加得：an-a1=(n-1)d, ∴an=a1+(n-1)d.
方法二(迭代法)：∵{an}是等差数列，
∴an=an-1+d=an-2+d+d=an-2+2d=an-3+3d=?=a1+(n-1)d. 即an=a1+(n-1)d.
方法三（逐差法）：∵{an}是等差数列，则有
an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(an-2-an-3)+?+(a2-a1)+a1=a1+(n-1)d.
注意：等差数列通项公式的推导方法是以后解决数列题的常用方法，应注意体会并应用.
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（2）通项公式的变形公式
在等差数列{an}中，若m，n∈N+，则an=am+(n-m)d.推导如下：∵对任意的m,n∈N+，在等差数列中，有
am=a1+(m-1)d ① an=a1+(n-1)d ②
由②-①得an-am=(n-m)d, ∴an=am+(n-m)d.
注意：将等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d变形整理可得an=dn+a1-d，从函数角度来看，an=dn+(a1-d)是关于n的一次函数(d≠0时)或常数函数(d=0时)，其图像是一条射线上一些间距相等的点，其中公差d是该射线所在直线的斜率，从上面的变形公式可以知道，d=（3）通项公式的应用
①利用通项公式可以求出首项与公差;
②可以由首项与公差求出等差数列中的任意一项;
③若某数为等差数列中的一项，可以利用通项公式求出项数. 3.从函数角度研究等差数列的性质与图像
由an=f(n)=a1+(n-1)d=dn+(a1-d)，可知其图像是直线y=dx+(a1-d)上的一些等间隔的点，这些点的横坐标是些正整数，其中公差d是该直线的斜率，即自变量每增加1，函数值增加d. 当d>0时，{an}为递增数列，如图（甲）所示. 当d<0时，{an}为递减数列，如图(乙)所示. 当d=0时，{an}为常数列，如图(丙)所示.
an?am (n≠m).
n?m
4.等差中项
如果在数a与b之间插入一个数A，使a，A，b成等差数列， 那么A叫做数a与b的等差中项. 注意:(1)等差中项A=
a?b?a,A,b成等差数列； 2a?c，2b=a+c,b-a=c-b,a-b=b-c都是等价的； 2(2)若a,b,c成等差数列，那么b=
(3)用递推关系an+1=
1 (an+an+2)给出的数列是等差数列，an+1是它的前一项an与后一项an+2的等差中项. 2知能自主梳理
1.等差数列
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的 是 ，我们称这样的数列为等差数列.
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2.等差中项
如果在a与b中间插入一个数A，使a,A,b成等差数列，那么A叫做 . 3.等差数列的判断方法
（1）要证明数列{an}是等差数列，只要证明：当n≥2时， . （2）如果an+1=
an?an?2对任意的正整数n都成立，那么数列{an}是 . 2（3）若a,A,b成等差数列，则A＝ . 4.等差数列的通项公式 等差数列的通项公式为 5.等差数列的单调性 当d>0时，{an}是
数列.
数列；当d=0时，{an}是
数列；当d<0时，{an｝是
，它的推广通项公式为
.
［答案］ 1.差 同一个常数
2.a与b的等差中项
3.（1）an-an-1=d(常数) (2)等差数列 （3）4.an=a1+(n-1)d an=am+(n-m)d 5.递增 常 递减
思路方法技巧
命题方向 等差数列的定义及应用 ［例1］ 判断下列数列是否为等差数列. （1）an=3n+2； （2）an=n+n.
［分析］ 利用等差数列定义，看an+1-an是否为常数即可.
［解析］ (1)an+1-an=3(n+1)+2-(3n+2)=3(n∈N+).由n的任意性知，这个数列为等差数列. (2)an+1-an=(n+1)+(n+1)-(n+n)=2n+2,不是常数，所以这个数列不是等差数列.
［说明］ 利用定义法判断等差数列的关键是看an+1-an得到的结论是否是一个与n无关的常数，若是，即为等差数列，若不是，则不是等差数列.至于它到底是一个什么样的数列，这些不再是我们研究的范畴. 1 n=1
变式应用1 试判断数列｛cn｝，cn= 是否为等差数列. 2n-5 n≥2 ［解析］ ∵c2-c1=-1-1=-2,
2
2
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a?b 2cn+1-cn=2(n+1)-5-2n+5=2(n≥2).
∴cn+1-cn(n≥1)不等于同一个常数，不符合等差数列定义. ∴{cn}不是等差数列.
命题方向 等差数列通项公式的应用
［例2］ 已知数列{an}为等差数列，且a5=11,a8=5,求a11.
［分析］ 利用通项公式先求出a1和d，再求a11，也可以利用通项公式的变形形式an=am+(n-m)d求解.
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［解析］ 解法一：设数列{an}的首项为a1,公差为d，由等差数列的通项公式及已知，得 a1+4d=11 a1=19 解得 . a1+7d=5 d=-2 ∴a11=19+(11-1)×(-2)=-1. 解法二：∵a8=a5+(8-5)d, ∴d=
a8?a55?11==-2. 8?53∴a11=a8+(11-8)d=5+3×(-2)=-1.
［说明］ (1)对于解法一，根据方程的思想，应用等差数列的通项公式先求出a1和d，确定通项，此法也称为基本量法.
(2)对于解法二，根据通项公式的变形公式为：am=an+(m-n)d,m,n∈N+，进一步变形为d=掌握对它的灵活应用.
变式应用2 已知等差数列{an}中，a10=29,a21=62,试判断91是否为此数列中的项. a10=a1+9d=29 ［解析］ 设等差数列的公差为d,则有 ， a21=a1+20d=62 解得a1=2,d=3.
∴an=2+(n-1)×3＝3n-1. 令an＝3n-1=91,得n=
am?an，应注意
m?n92?N+. 3∴91不是此数列中的项. 命题方向 等差中项的应用
［例3］ 已知a,b,c成等差数列，那么a(b+c),b(c+a),c(a+b)是否成等差数列？
［分析］ 已知a,b,c成等差数列，由等差中项的定义，可知a+c=2b,然后要证其他三项
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a2(b+c),b2(c+a),c2(a+b)是否成等差数列，同样考虑等差中项.当然需用到已知条件a+c=2b.
［解析］ 因为a,b,c成等差数列，所以a+c=2b, 又a(b+c)+c(a+b)-2b(c+a) =ac+ca+ab(a-2b)+bc(c-2b) =ac+ca-2abc=ac(a+c-2b)=0, 所以a(b+c)+c(a+b)=2b(c+a),
所以a(a+c),b(c+a),c(a+b)成等差数列.
［说明］ 本题主要考查等差中项的应用，如果a,b,c成等差数列，则有a+c=2b;反之，若a+c=2b,则a,b,c成等差数列.
变式应用3 已知数列｛xn｝的首项x1=3,通项xn=2p+nq(n∈N＋,p,q为常数)，且x1、x4、x5成等差数列.求：p,q的值.
［分析］ 由x1、x4、x5成等差数列得出一个关于p,q的等式，结合x1=3推出2p+q=3,从而得到p,q.
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