发布时间 : 星期三 文章南昌大学 2009-2012历年年数学物理方法期末试卷A卷(附所有答案)更新完毕开始阅读
.. 2、用留数定理计算实积分 I??2?0dx。 9?8cosx解：设z?eix,则cosx?(z?z?1)/2,dx?dz/(iz). 于是， I?dz/(iz)1dz （4分） ???12??9?8(z?z)/2i|z|?14z?9z?4|z|?1回路内有单极点z??(9?17)/8,而z??(9?17)/8不是回路内的奇点（2分）。回路内单极点的留数为 Resf(z?)?lim(z?z?)f(z)?lim??z?zz?z111 （2分） ??????4(z?z)4(z?z)1712?于是，I??2?iResf(z?)? （1分） i17 3、求f(x)?1/(x?16)的傅里叶变换。 解：f(x)是偶函数，故存在傅里叶余弦变换，即 222cos?xA(?)?f(x)cos?xdx?dx （4分） 2???0?0x?16ei?zF(z)?2在上半平面有单极点4i（2分），其留数为 z?16ei?zei?ze?4?z?4i)2?lim? ResF(4i)?lim( （2分） z?4iz?4iz?16z?4i8i于是，A(?)?2????iResF(4i)?e?4?/4 （1分） 注：用复数形式求解可相应给分，但求解过程如果直接采用类型二方法的留数定理解法应该酌情扣分，因为不满足类型二方法的条件；如将实、虚部分别采用类型二方法的留数定理解法，此解法是正确的，但最后结果与实数形式解法结果有系数差异，也应该正确。 4、用拉普拉斯变换解常微分方程初值问题【可能用到拉普拉斯变换L[tnest]?n!(p?s)?n?1】 d3yd2ydydyd2y?t?32?3?y?6e,y(0)?3,|t?0?1,2|t?0?2. 3dtdtdtdtdt解：将方程拉普拉斯变换： ;.
.. 322 (py?3p?p?2)?3(py?3p?2)?3(py?2)?y?6. （5分） p?13即 (p?1)y?66?3p2?10p?14??3(p?1)2?4(p?1)?7, p?1p?1亦即y?66347?3p2?10p?14????,423 （2分） p?1(p?1)p?1(p?1)(p?1)72?t723?t?t?t3y?te?3e?4te?te?(t?t?4t?3)e?t. （2分） 反演，得22 ?3x5、解偏微分方程utt?16uxx?esin2t;t?0:u?ut?0。 解：方程有特解形如v?Ae?3xsin2t，易得A??1/148. （4分） 令u?w?1?3xesin2t，则有 148 wtt?16wxx?0;t?0:w?0,wt?由达朗贝尔公式，得 1?3xe. （2分） 74111?3s?3(x?4t)?3(x?4t)eds??[e?e] （2分） w???874x?4t1776所以，u?? 6、已知uxx?uyy?0,u|x?0?u|x???0有一般解 u(x,y)?ny?ny(Ae?Be)sinnx ?nnn?1?x?4t11?3x[e?3(x?4t)?e?3(x?4t)]?esin2t （1分） 1776148其中An和Bn是与x和y无关的系数。利用该一般解求解下列泊松方程矩形边界问题 uxx?uyy?sin2x,u|x?0?2,u|x???2,u|y?0?2,u|y???2?sinx 解：容易看出满足方程和x上一组边界有特解v设u?v?w，则有 1?2?sin2x （3分） 4;.
.. wxx?wyy?0,w|x?0?0,w|x???0,11w|y?0?sin2x,w|y???sinx?sin2x44由已知可有w(x,y)? （1分） ?(Aenn?1?ny?Bne?ny)sinnx （1分） 其中An?Bn?0(n?3,4,)， （1分） 1A1?B1?0e??e??当n?1时，则 得 （1分） ???1A1e?B1e?1B1????e?eA1?A2?B2?当n?2时，则14?2?e?2??1A2?4(e?2??e2?)A2e2??B2e1?4 得1?e2?B2?4(e?2??e2?) （1分） y?y2y?2y于是，w(x,y)?(A1e?B1e)sinx?(A2e?B2e)sin2x （1分） 因此，有 1y?y2y?2yu(x,y)?2?(Ae?Be)sinx?(Ae?Be?)sin2x （1分） 11224 ;.
..
;.