发布时间 : 星期日 文章鍗楁槍澶у 2009-2012鍘嗗勾骞存暟瀛︾墿鐞嗘柟娉曟湡鏈瘯鍗稟鍗?闄勬墍鏈夌瓟妗? - 鐧惧害鏂囧簱更新完毕开始阅读
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.. Resf(4)?limz?411?.(4分) 由留数定理得 z(z?2)24111?)???i.(4分) 8246I?2?i(Resf(0)?Resf(4))?2?i(?2. 用留数定理计算实积分I??解：I?2? ?cosxdx。 ??9?x2 ? 0eizcosx有两个单极点?3i，其中3i在上半平面dx(2分)。 S(z)?229?z9?x(2分)，它的留数为 eiz1ResS(3i)?lim(z?3i)S(z)?lim?3(4分)，由留数定理得 e6iz?2iz?3iz?3i3e3. 可使用拉普拉斯变换或其它任何方法求解下列常微分方程初值问题 I?2??i?ResS(3i)??3.(2分) d2ydyt?3?2y?e,y(0)??1,y'(0)?2. 2dtdt已知拉普拉斯变换L[tnest]?n!n!nL[t]?，。 n?1n?1p?p?s?解：设y的拉普拉斯变换为y，则微分方程初值问题有拉普拉斯变换 (p2y?p?2)?3(py?1)?2y?y?1（,4分）则有p?11p?5?(p?1)2(p?2)(p?1)(p?2)11(p?2)?3????(p?1)2(p?1)(p?2)(p?1)(p?2)1111?4(??)? 2p?1p?2p?1(p?1)154????。（4分）反演之，得2p?1p?2(p?1)??y??tet?5et?4e2t??(t?5)et?4e2t（2分） 4. 设X(x)满足方程X????X?0和边界条件X'(0)?X(?/2)?0，其中?可为任意实数，试根据?的可能取值求解方程，并根据边界条件确定本征值?和本征函数。 解：（1）如果??0，则方程有通解X(x)?C1ex???C2e?x??，结合边界条件只能有 X(x)?0，不予考虑。(2分)（2）如果??0，则方程有通解X(x)?C1?C2x，结合;.
X(x)?0??0X(x)?Ccos(x?)?Csin(x?)..
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.. 当C1?0时，?2??(n?)?12(n?0,1,2,?) 则 ??(2n?1)2本征函数是 (n?0,1,2,?) (2分) X(x)?C1cos(2n?1)x(n?0,1,2,?) (2分) 三、数学物理定解问题 (共12分) 1.考查无限长弦定解问题：utt?4uxx?cost(t?0)，且初始条件为ut?0?sinx，utt?0?0。 先寻找泛定方程的一个特解v,再作变换u?v?w, 使得w的泛定方程为齐次，然后利用达朗贝尔公式求解该问题。 解：显然，v??cost是泛定方程的一个特解(3分)。作变换u?v?w,得w的定解问题为： ?wtt?4wxx?0??w(x,0)?1?sinx,根据达朗贝尔公式，有 wt(x,0)?0(3分) 1[1?sin(x?2t)?1?sin(x?2t)](4分) 2?1?sinxcos2t.w(x,t)?于是， u(x,t)?1?sinxcos2t?cost.(2分) ;.