发布时间 : 星期四 文章(完整word)第八章向量代数与空间解析几何教案(同济大学版高数)更新完毕开始阅读
1．定义：平行于定直线并沿曲线定曲线C移动的直线L形成的轨迹叫做柱面。
定曲线C：准线
动直线L：母线
2．特征：x，y，z三个变量中若缺其中之一（例如y）则表示母线平行于y轴的柱面。 3：几个常用的柱面：
b) 圆柱面：x?y?R（母线平行于z轴） c) 抛物柱面：y?2x（母线平行于z轴） 四、二次曲面 1、定义：
三元二次方程表示的曲面叫做二次曲面 2、截痕法
用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌，这种方法叫做截痕法。 3、几种特殊的二次曲面 1． 椭球面
方程为
2222x2y2z2???1 a2b2c2
使用截痕法，先求出它与三个坐标面的交线：
222?2??x?y?1?x2?z2?1 ?2，?，2c?a?aby?0??z?02?2y??2?z2?1，这些交线都是椭圆。再看?bc???x?0这曲面与平行于坐标面的平面的交线：椭球面与平面z?z1的交线为椭圆
?x2y2?2?1??a22b，同理与平面x?x1和y?y1的交线也是椭圆。?2(c?z12)(c2?z12)（|z1|?c）2c?c??z?z1椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化。可知其形状如右上图所示。抛物面
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例：椭圆抛物面方程为
x2y2??z 2p2q（p与q同号）
其形状如右图所示。
旋转抛物面方程为
x2y2??z 2p2p （p >0）
双曲抛物面（鞍形曲面）方程为
x2y2???z （p与q同号） 2p2q当p >0， q >0时，其形状如图所示。 2．双曲面
单叶双曲面方程为
x2y2z2?2?2?1 2abc双叶双曲面方程为
x2y2z2?2?2??1 2abc各种图形注意规律特点，可以写出其它的方程表达式。
小结：曲面方程的概念，旋转曲面的概念及求法，柱面的概念(母线、准线)。 作业：
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第六节 空间曲线及其方程
教学目的：介绍空间曲线的各种表示形式。第五、六节是为重积分、曲面积分
作准备的，学生应知道各种常用立体的解析表达式，并简单描图，对投影等应在学习时特别注意。 教学重点：1.空间曲线的一般表示形式 2.空间曲线在坐标面上的投影 教学难点：空间曲线在坐标面上的投影 教学内容：
一、空间曲线的一般方程
空间曲线可以看作两个曲面的交线，故可以将两个曲面联立方程组形式来表示曲线。
?F(x,y,z)?0 ??G(x,y,z)?0特点：曲线上的点都满足方程，满足方程的点都在曲线上，不在曲线上的点不能同时满足两个方程。
二、空间曲线的参数方程
将曲线C上的动点的坐标表示为参数t的函数：
?x?x(t)??y?y(t) ?z?z(t)?当给定t?t1时，就得到曲线上的一个点(x1,y1,z1)，随着参数的变化可得到曲线上的全部点。
三、空间曲线在坐标面上的投影
设空间曲线C的一般方程为
（3）
?F(x,y,z)?0 ??G(x,y,z)?0消去其中一个变量（例如z）得到方程
H(x,y)?0
（4）
曲线的所有点都在方程（4）所表示的曲面（柱面）上。
此柱面（垂直于xoy平面）称为投影柱面，投影柱面与xoy平面的交线叫做空间曲线C在xoy面上的投影曲线，简称投影，用方程表示为
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?H(x,y)?0 ??z?0同理可以求出空间曲线C在其它坐标面上的投影曲线。
在重积分和曲面积分中，还需要确定立体或曲面在坐标面上的投影，这时要利用投影
柱面和投影曲线。
例1：设一个立体由上半球面z?求它在xoy面上的投影。 解：半球面与锥面交线为
4?x2?y2和锥面z?3(x2?y2)所围成，见右图，
??z?4?x2?y2C:?
22??z?3(x?y)消去z并将等式两边平方整理得投影曲线为：
?x2?y2?1 ??z?0即xoy平面上的以原点为圆心、1为半径的圆。立体在xoy平面上的投影为圆所围成的部分：
x2?y2?1
小结：1.空间曲线的一般方程、参数方程：
?F(x,y,z)?0 ??G(x,y,z)?0
?x?x(t)??y?y(t) ?z?z(t)?2.空间曲线在坐标面上的投影
?H(x,y)?0 ?z?0??R(y,z)?0 ?x?0?作业：
?T(x,z)?0 ?y?0?
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