发布时间 : 星期六 文章2019届高考数学二轮复习专题四三角函数、向量与解三角形第3讲正、余弦定理及其应用学案更新完毕开始阅读
内部文件,版权追溯 第3讲 正、余弦定理及其应用
1. 高考对解三角形问题考查比较普遍,主要考查正、余弦定理的应用,并能运用它们求解与三角形有关的问题.
2. 高考主要涉及的题型:(1) 结合三角恒等变换考查解三角形知识;(2) 结合三角形性质综合考查三角函数知识.
1. (2017·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知C=60°,b=6,c=3,则A= ________.
答案:75°
632
解析:由正弦定理得=,得sin B=.
sin B232
∵ b 2. (2018·石家庄模拟)在△ABC中,AB=3,AC=1,∠B=30°,则△ABC的面积等于________. 33 答案:或 24 222 解析:由余弦定理得AC=AB+BC-2AB·BC·cos B,即1=3+BC2-3BC,解得BC=1 1113 或BC=2.当BC=1时,△ABC的面积S=AB·BCsin B=×3×1×=.当BC=2时, 2224111333 △ABC的面积S=AB·BCsin B=×3×2×=.综上,△ABC的面积等于或. 222242 π3 3. 在△ABC中,设a,b,c分别为角A,B,C的对边,若a=5,A=,cos B=,则 45 c=________. 答案:7 3π4 解析:因为cos B=,所以B∈(0,),从而sin B=,所以sin C=sin(A+B)=sin 525 Acos B+cos Asin B= 232472ac5c×+×=.又由正弦定理得=,即=,252510sin Asin C272 210 解得c=7. 4. (2018·兰州模拟)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若bcos C+ccos B=asin A,则△ABC的形状为________. 答案:直角三角形 2 解析:由正弦定理得sin Bcos C+sin Ccos B=sin2A,所以sin(B+C)=sinA,即sin(π π22 -A)=sinA,sin A=sinA.因为A∈(0,π),所以sin A>0,所以sin A=1,即A=, 2 故△ABC为直角三角形. , 一) 利用正、余弦定理解三角形 , 1) (2018·徐州期中)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b, 1 c,且a+2c=2bcos A. (1) 求角B的大小; (2) 若b=23,a+c=4,求△ABC的面积. 解:(1) 因为a+2c=2bcos A, 由正弦定理,得sin A+2sin C=2sin Bcos A. 因为C=π-(A+B),所以sin A+2sin(A+B)=2sin Bcos A, 即sin A+2sin Acos B+2cos Asin B=2sin Bcos A,所以sin A(1+2cos B)=0. 1 因为sin A≠0,所以cos B=-. 2 2π 因为0 (2) 由余弦定理a+c-2accos B=b及b=23得a+c+ac=12, 2 即(a+c)-ac=12. 113 因为a+c=4,所以ac=4,所以S△ABC=acsin B=×4×=3. 222 在△ABC中,已知角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且tan B=2,tan C=3. (1) 求角A的大小; (2) 若c=3,求b的长. 解:(1) 因为tan B=2,tan C=3,A+B+C=π, 所以tan A=tan[π-(B+C)]=-tan(B+C) tan B+tan C2+3=-=-=1. 1-tan Btan C1-2×3 π 又A∈(0,π),所以A=. 4 sin B22 (2) 因为tan B==2,且sinB+cosB=1, cos B25 又B∈(0,π),所以sin B=. 5310 同理可得sin C=. 10 253× 5csin B由正弦定理,得b===22. sin C310 10 2 2 2 2 2 , 二) 结合正、余弦定理求值化简 , 2) (2018·启东中学月考)已知函数f(x)=2cos(x+)cos(x-),x∈R. (1) 求函数f(x)的最小正周期; 1π (2) 在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若锐角A满足f(A)=-,C=且 26 c=2,求△ABC的面积. ?π?π???π??π??π?解:(1) f(x)=2cos?x+?cos?x-?=2sin?-?x+??cos?x-? 3???3?6?6????2? π??π??π??=2sin?-x?cos?x-?=-sin?2x-?, 6?3??6??? π 3 π6 2 2π ∴ 函数的最小正周期T==π. |ω| π?11?(2) ∵ f(A)=-,∴ -sin?2A-?=-. 3?22? π?1?∴ sin?2A-?=. 3?2? πππ2π ∵ A为锐角,∴ 0 2333 πππ ∴ 2A-=,解得A=. 364 aca2 由正弦定理,=,即=,解得a=22. sin Asin C21 22 ∴ sin B=sin(π-A-C)=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C=116+2 ∴ △ABC的面积为S=acsin B=×22×2×=1+3. 224 4 (2018·南京学情调研)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,cos B=. 5 sin B(1) 若c=2a,求的值; sin Cπ (2) 若C-B=,求sin A的值. 4 4a2+c2-b24 解:(1)(解法1)在△ABC中,因为cos B=,所以=. 52ac5 2 ?c?+c2-b2?2? 4b29b35?? 因为c=2a,所以=,即2=,所以=. c5c20c102c× 2sin Bbsin B35 由正弦定理得=,所以=. sin Ccsin C10 432 (解法2)因为cos B=,B∈(0,π),所以sin B=1-cosB=. 55 因为c=2a,由正弦定理得sin C=2sin A, 68 所以sin C=2sin(B+C)=cos C+sin C,即-sin C=2cos C. 5525sin B3522 因为sinC+cosC=1,sin C>0,解得sin C=,所以=. 5sin C10 472 (2) 因为cos B=,所以cos 2B=2cosB-1=. 525 32 又0<B<π,所以sin B=1-cosB=, 5 3424 所以sin 2B=2sin Bcos B=2××=. 5525 ππ3π 因为C-B=,即C=B+,所以A=π-(B+C)=-2B, 444 6+2 . 4 3 3π3π3π27224 所以sin A=sin(-2B)=sincos 2B-cossin 2B=×-(-)×= 444225225312 . 50 , 三) 解三角形及其应用 , 3) (2018·大连模拟)如图,一条巡逻船由南向北行驶,在A处测得山 顶P在北偏东15°(∠BAC=15°)方向上,匀速向北航行20分钟到达B处,测得山顶P位于北偏东60°方向上,此时测得山顶P的仰角是60°,若山高为23千米. (1) 船的航行速度是每小时多少千米? (2) 若该船继续航行10分钟到达D处,问此时山顶位于D处的南偏东什么方向? 解:(1) 在△BCP中,tan∠PBC=?BC=2. PCBCBCAB2AB在△ABC中,由正弦定理得=?=, sin∠BACsin∠BCAsin 15°sin 45° 所以AB=2(3+1), 船的航行速度是每小时6(3+1)千米. (2) 在△BCD中,由余弦定理得CD=6. CDCB2 在△BCD中,由正弦定理得=?sin∠CDB=, sin∠DBCsin∠CDB2 所以山顶位于D处的南偏东45°. 如图,经过村庄A有两条夹角为60°的公路AB,AC,根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P,分别在两条公路边上建两个仓库M,N(异于村庄A),要求PM=PN=MN=2千米.如何设计,使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)? 解:设∠AMN=θ,在△AMN中, =. sin 60°sin(120°-θ) MNAM43 因为MN=2,所以AM=sin(120°-θ). 3 在△APM中,cos∠AMP=cos(60°+θ). AP2=AM2+MP2-2AM·MP·cos∠AMP 16432 =sin(120°-θ)+4-2×2×sin(120°-θ)·cos(60°+θ) 33161632 =sin(θ+60°)-sin(θ+60°)cos(θ+60°)+4 33 4