发布时间 : 星期六 文章概率论与数理统计习题答案1-19章更新完毕开始阅读
概率论与数理统计习题解答 第一章 随机事件及其概率
111 P(B)? P(C)? 534设D表示“此密码能被译出”，则D?A?B?C，从而有
P(D)?P(A?B?C)?P(A)?P(B)?P(C)?P(AB)?P(BC)?P(CA)?P(ABC)
?P(A)?P(B)?P(C)?P(A)P(B)?P(B)P(C)?P(C)P(A)?P(A)P(B)P(C) 111111111111?????????????0.6． 5345354545341112（另解）P(D)?P(ABC)?P(A)P(B)P(C)?(1?)(1?)(1?)?，从而有
534523P(D)?1?P(D)?1???0.6
55P(A)?
四、甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击，三人的命中概率分别为0.4,0.5,0.7．飞机被一
人击中而被击落的概率为0.2，被两人击中而被击落的概率为0.6，若三人都击中，则 飞机必被击落．求飞机被击落的概率．
；A3表示“丙命中”；则 A2表示“乙命中”
P(A1)?0.4 P(A2)?0.5 P(A3)?0.7
设Bi表示“i人击中飞机” (i?0,1,2,3)，则 解：设A1表示“甲命中”；
P(B0)?P(A1A2A3)?P(A1P)(A2)P(A3)?(1?0.4)(1?0.5)(1?0.7)?0.09
P(B1)?P(A1A2A3?A1A2A3?A1A2A3)
?P(A1A2A3)?P(A1A2A3)?P(A1A2A3)
?P(A1)P(A2)P(A3)?P(A1)P(A2)P(A3)?P(A1)P(A2)P(A3)
?0.4?(1?0.5)(1?0.7)?(1?0.4)?0.5?(1?0.7)?(1?0.4)(1?0.5)?0.7?0.36
P(B2)?P(A1A2A3?A1A2A3?A1A2A3)
?P(A1A2A3)?P(A1A2A3)?P(A1A2A3)
?P(A1)P(A2)P(A3)?P(A1)P(A2)P(A3)?P(A1)P(A2)P(A3)
?0.4?(1?0.5)(1?0.7)?(1?0.4)?0.5?(1?0.7)?(1?0.4)(1?0.5)?0.7?0.41
P(B3)?P(A1A2A3)?P(A1)P(A2)P(A3)?0.4?0.5?0.7?0.14
设
A表示“飞机被击落”，则由题设有
P(AB0)?0 P(AB1)?0.2 P(AB2)?0.6 P(AB3)?1
故有
P(A)??P(Bi)P(ABi)?0.09?0?0.36?0.2?0.41?0.6?0.14?1?0.458．
i?03
五、某机构有一个9人组成的顾问小组，若每个顾问贡献正确意见的概率都是0.7，现在
该机构内就某事可行与否个别征求每个顾问的意见，并按多数人意见作出决策，求作 出正确决策的概率． 解：设Ai表示“第i人贡献正确意见”，则P(Ai)又设m为作出正确意见的人数，
?0.7 (i?1,2,?,9)．
A表示“作出正确决策”，则
P(A)?P(m?5)?P9(5)?P9(6)?P9(7)?P9(8)?P9(9)
567?C9?(0.7)5?(0.3)4?C9?(0.7)6?(0.3)3?C9?(0.7)7?(0.3)2?
89?C9?(0.7)8?(0.3)1?C9?(0.7)9
?126?(0.7)5?(0.3)4?84?(0.7)6?(0.3)3?36?(0.7)7?(0.3)2?
?9?(0.7)8?(0.3)1?(0.7)9
?0.1715?0.2668?0.2668?0.1556?0.0403
5
概率论与数理统计习题解答 第一章 随机事件及其概率
?0.901．
六、每次试验中事件A发生的概率为p，为了使事件A在独立试验序列中至少发生一次的
概率不小于p，问至少需要进行多少次试验？ 解：设做n次试验，则
P{A至少发生一次}?1?P{A一次都不发生}?1?(1?p)n nn要1?(1?p)?p，即要(1?p)?1?p，从而有n?log(1?p)(1?p)?1.
答：至少需要进行一次试验．
5 离散随机变量的概率分布·超几何分布·二项分布·泊松分布
一、 一批零件中有9个合格品与3个废品．安装机器时从这批零件中任取1个．如果每次取出的废品不再放回去，求在取
得合格品以前已取出的废品数的概率分布． 解：设X表示“在取得合格品以前已取出的废品数”，则X的概率分布为
0 1 X 2 1C32C9?12C12C103 3C33C12p 即
1C91C12 11C3C9?1 1C12C11 X 0 1 2 3 p 亦即
340 9441 92202 12203 X p 0.75 0.205 0.041 0.004
二、 自动生产线在调整以后出现废品的概率为
数的概率分布．
p．生产过程中出现废品时立即进行调整．求在两次调整之间生产的合格品
解：设X表示“在两次调整之间生产的合格品数”，且设q?1?
0 1 2 X p，则ξ?? ?? 的概率分布为
p p pq pq2 n pqn ?? ??
三、 已知一批产品共20个，其中有４个次品．
（１）不放回抽样．抽取６个产品，求样品中次品数的概率分布； （２）放回抽样．抽取６个产品，求样品中次品数的概率分布． 解：（1）设X表示“取出的样本中的次品数”，则
X服从超几何分布，即X的概率函数为
6?xC4xC16P(X?x)?(x?0,2,3,4) 6C201 2 3 4 从而X的概率分布为
X 0 p 即
100148452184484591 32356 9691 323X p 0 1 2 3 4 0.2066 0.4508 X0.2817 0.0578 0.0031
（2）设X表示“取出的样本中的次品数”，则从而X的概率分布为 服从超几何分布，即X的概率函数为
P(X?x)?C6x(0.2)x(1?0.2)6?xX
0 1 2 6
3 (x?0,2,3,4,5,6)
4 5 6 概率论与数理统计习题解答 第一章 随机事件及其概率 p 即
4()5 5456?65 4415?65 4320?65 4215?65 6?456 156 X p 0 1 2 3 4 5 6 0.2621 0.3932 0.2458 0.0819 0.0154 0.0015 0.0001
四、 电话总机为300个电话用户服务．在一小时内每一电话用户使用电话的概率等于0.01，求在一小时内有4个用户使用
电话的概率（先用二项分布计算，再用泊松分布近似计算，并求相对误差）． 解：（1）用二项分布计算(p?0.01)
44P(ξ?4)?C300p4(1?p)296?C300(0.01)4(1?0.01)296?0.168877
（2）用泊松分布计算(λ?np?300?0.01?3)
34?3P(ξ?4)?e?0.168031355
4!0.168877?0.1680313550 相对误差为δ??500.
0.168877
五、 设事件A在每一次试验中发生的概率为0.3，当A发生次数不少于3次时，指示灯发出信号．现进行了5次独立试验，
求指示灯发出信号的概率． 解：设X表示“事件
A发生的次数”，则P(A)?p?0.3，n?5，X~B(5,0.3).于是有
P(X?3)?P(X?3)?P(X?4)?P(X?5)
334455?C5p(1?p)2?C5p(1?p)?C5p
?0.1323?0.02835?0.00243?0.16308
（另解） P(X?3)?1?P(X?3)?1?P(X?0)?P(X?1)?P(X?2)
005114223 ?1?1C5p(1?p)?C5p(1?p)?C5p(1?p) ?0.16308
六、 设随机变量X的概率分布为
P(X?k)?a?kk! , k?0, 1, 2,??；
其中λ>0为常数，试确定常数a．
?λk解：因为?P(X?k)?1，即?a?1，亦即aeλ?1，所以a?e?λ.
k!k?0k?0?
6 随机变量的分布函数·连续随机变量的概率密度
一、 函数
1可否是连续随机变量X的分布函数？为什么？如果X的可能值充满区间：
1?x2 （1）（??, ??）；（2）（??,0）． 解：（1）设F(x)因为
x???1，则0?F(x)?1
1?x2limF(x)?0，limF(x)?0，所以F(x)不能是X?x???的分布函数．
（2）设F(x)1，则0?F(x)?1且limF(x)?0，limF(x)?1 2x???x??01?x2x?0 (x?0)，所以F(x)在（??,0）上单增． 因为F'(x)??(1?x2)2综上述，故F(x)可作为X的分布函数．
?7
概率论与数理统计习题解答 第一章 随机事件及其概率
f(x)?sinx可否是连续随机变量X的概率密度？为什么？如果X????3?? （1）?0,?； （2）?0,??； （3）?0,?．
二、函数
的可能值充满区间：
?2??2???π??π?2f(x)dx??cosx2?1解：（1）因为x?0,，所以f(x)?sinx?0；又因为?，所以当x?0,? 0???0?2??2?时，函数f(x)?sinx可作为某随机变量X的概率密度．
? （2）因为x?时，函数
?0,π?，所以f(x)?sinx?0；但?0?f(x)dx??cosx0?2?1，所以当x??0,π?
?f(x)?sinx不可能是某随机变量X的概率密度． ?3π? （3）因为x?0,?2?，所以f(x)?sinx不是非负函数，从而它不可能是随机变量X??的概率密度．
二、 一批零件中有9个合格品与3个废品．安装机器时从这批零件中任取1个．如果每次取出的废品不再放回去，求在取
得合格品以前已取出的废品数的分布函数，并作出分布函数的图形． 解：设X表示“取出的废品数”，则X的分布律为
0 X 1 2 3 p
于是，X的分布函数为 34 94492201220 y x?0?0,?34,0?x?1??F(x)??2122,1?x?2 其图形见右： ?219220,2?x?3??x?3?1,
四、（柯西分布）设连续随机变量
o x X的分布函数为
F(x)?A?Barctanx, ???x???．
求：（1）系数A及B；（2）随机变量X落在区间(?1, 1)内的概率；(3) X的概率密度．
ππ11?1，解得A?,B?. 解：(1) 由limF(x)?A?B?(?)?0，limF(x)?A?B?x???x???22π211 即F(x)??arctanx, (???x???)．
2π11111(2) P(?1?X?1)?F(1)?F(?1)?[?arctan1]?[?arctan(?1)]?.
2?2?2(3) X的概率密度为
1． f(x)?F?(x)?2?(1?x) 五、（拉普拉斯分布）设随机变量
X的概率密度为
解：(1)
, ???x???．
求：（1）系数A；（2）随机变量X落在区间(0,1)内的概率；（3）随机变量X的分布函数．
??????1?x?x由?f(x)dx?1，得?Aedx?2A?edx?2A?1，解得A?，即有
??0??21?xf(x)?e, (???x???).
28
f(x)?Ae?x