高数 数项级数收敛性判别法总结论文 联系客服

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2012年5月23日

数项级数敛散性判别法总结

摘要:级数是数学分析中的主要内容之一,我们学习过的数项级数收敛性判别法有很多,如:等比级数、调和级数的收敛性、比值辨别法、极值辨别法。比较判别法的极限的形成,比较判别法和交错判别法等。

关键词:数项级数 收敛性 判别法 一、数项级数的收敛性

定义2(高等数学 航空工业出版社 p227)。如果 ?Un的

n?1

部分和数列 ?Sn? 的极限存在,即:lim Sn=S n??则称级数 ?Un 收敛 ,S为级数 ?Un 的和。记为:

n?1n?1????? Un?1n?U1?U2?U3?......?Un= S

?如果 lim Sn不存在,则称级数 ?Un 发散。 n??n?1二、等比级数的收敛性,总结如下:

等比级数(几何级数) ?aq (a?0)

n?0?n当 q当q?1 时,级数收敛,且和 S? ?n?0?aqn?a1?q

?1 时,级数发散。

n讨论如下:等比级数 aq敛性:

?a?aq?aq+...+aq2n (a?0) 的收

当q?1时,部分和 Sn?因此,当q?1时,lima?aq?aq+...+aq2n?1??(a1?qn)1?q

Sn ?n??a1?q 此时,级数收敛。

当 q>1 时, lim Sn =? 此时级数发散。 n??当q??1 时,n为奇数时,Sn?a ,n为偶数时, Sn?0。

故lim Sn不存在。此时发散。 n??当q=1时,Sn?a?a?a...?na??(n??) ,故发散。

总结:常用的判别方法,只是用等比级数。 三、证明调和级数的敛散性。(反证法)

?例如:证明 ? 是发散的。 n?1n?1 证:假设调和级数 ? 收敛,其和为S,则n?1nlim?n??1S(2n?Snn?)1n?1

?01n?21n?312nn2n12然而,S由上可知,

?2nS??...??=

n??时,有 0?2矛盾出现,因而假设不成立,

所以调和级数时发散的。 四、

?Un性质1. 如果级数? 收敛于和S ,则它的各项乘以一n?1?KUn个常数K所得的级数 ? 也收敛,且和尾 KS。 n?1Un??nS1 S2 则性质2. 如果级数 ? ,分别收敛于 n?1n?1???(Un??n)级数 ? 也收敛,和为 S1?S2 。 n?1性质3. (两边夹定理)如果

?Un??n?Wn??Un?Wn ,且? 和 n?1n?1?n都收敛,则 ? 也收敛 n?1性质4. 在一个级数中任意去掉,增加或者改变有限项后,级

数的收敛性不会改变,但对于收敛级数,其和将会受到影响。

?Un性质5. 如果级数?收敛,则对于级数的项任意加括号后所n?1得到得级数(u1?u2?...?un)?(unk?1?1?...?unk)仍收敛,且其和不变。

注意!:如果加括号后所得的级数收敛,则不能断定去括号后原来的

级数也收敛。例如:(1?1)?(1?1)?... 收敛于零,但级数

1?1?1?1?...却是发散的。

根据性质5可以推论出:如果加括号所得的级数发散,则原来的级数也发散,若原来的级数收敛,则加括号的级数仍收敛。

?Un定理1. (级数收敛的必要条件) 如果级数?收敛,则它的一n?1Un?0n??般项Un趋近于零,即lim

?Un?0Unn??推论 :如果lim(包括极限不存在),则级数 ? 发n?1