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课程名称 ： ＿数项级数敛散性判别法总结＿＿ 专业班级 ： ＿＿＿＿2 0 1 1 0 0 7＿＿＿＿ 成 员： ＿＿张 吉 201100713＿＿＿＿ 联系方式 ： ＿＿1 5 0 3 6 1 1 5 2 4 1＿＿
2012年5月23日
数项级数敛散性判别法总结
摘要：级数是数学分析中的主要内容之一，我们学习过的数项级数收敛性判别法有很多，如：等比级数、调和级数的收敛性、比值辨别法、极值辨别法。比较判别法的极限的形成，比较判别法和交错判别法等。
关键词：数项级数 收敛性 判别法 一、数项级数的收敛性
定义２（高等数学 航空工业出版社 ｐ227）。如果 ?Un的
n?1
部分和数列 ?Sn? 的极限存在，即：lim Sn=S n??则称级数 ?Un 收敛 ，S为级数 ?Un 的和。记为：
n?1n?1????? Un?1n?U1?U2?U3?......?Un= S
?如果 lim Sn不存在，则称级数 ?Un 发散。 n??n?1二、等比级数的收敛性，总结如下：
等比级数（几何级数） ?aq (a?0)
n?0?n当 q当q?1 时，级数收敛，且和 S? ?n?0?aqn?a1?q
?1 时，级数发散。
n讨论如下：等比级数 aq敛性：
?a?aq?aq+．．．＋aq2ｎ (a?0) 的收
当q?１时，部分和 Ｓｎ?因此，当q?1时，lima?aq?aq+．．．＋aq2ｎ?１??（a1?qｎ）1?q
Sn ?n??a1?q 此时，级数收敛。
当 q＞1 时， lim Sn ＝? 此时级数发散。 n??当q??1 时，n为奇数时，Sn?a ，n为偶数时， Sn?0。
故lim Sn不存在。此时发散。 n??当ｑ＝１时，Sn?a?a?a...?na??(n??) ，故发散。
总结：常用的判别方法，只是用等比级数。 三、证明调和级数的敛散性。（反证法）
?例如：证明 ? 是发散的。 n?1n?1 证：假设调和级数 ? 收敛，其和为S，则n?1nlim?n??1S(2n?Snn?)1n?1
?01n?21n?312nn2n12然而，S由上可知，
?2nS??...??=
n??时，有 0?2矛盾出现，因而假设不成立，
所以调和级数时发散的。 四、
?Un性质1. 如果级数? 收敛于和S ，则它的各项乘以一n?1?KUn个常数K所得的级数 ? 也收敛，且和尾 KS。 n?1Un??nS1 S2 则性质2. 如果级数 ? ，分别收敛于 n?1n?1???(Un??n)级数 ? 也收敛，和为 S1?S2 。 n?1性质3. （两边夹定理）如果
?Un??n?Wn??Un?Wn ，且? 和 n?1n?1?n都收敛，则 ? 也收敛 n?1性质4. 在一个级数中任意去掉，增加或者改变有限项后，级
数的收敛性不会改变，但对于收敛级数，其和将会受到影响。
?Un性质5. 如果级数?收敛，则对于级数的项任意加括号后所n?1得到得级数(u1?u2?...?un)?(unk?1?1?...?unk)仍收敛，且其和不变。
注意！：如果加括号后所得的级数收敛，则不能断定去括号后原来的
级数也收敛。例如：(1?1)?(1?1)?... 收敛于零，但级数
1?1?1?1?...却是发散的。
根据性质5可以推论出：如果加括号所得的级数发散，则原来的级数也发散，若原来的级数收敛，则加括号的级数仍收敛。
?Un定理1. （级数收敛的必要条件） 如果级数?收敛，则它的一n?1Un?0n??般项Un趋近于零，即lim
?Un?0Unn??推论 ：如果lim（包括极限不存在），则级数 ? 发n?1