发布时间 : 星期一 文章2020届新高考数学艺考生总复习第七章平面解析几何第4节直线与圆、圆与圆的位置关系冲关训练更新完毕开始阅读
第4节 直线与圆、圆与圆的位置关系
1.(2019·上饶市一模)已知直线x+ay+2=0与圆x+y+2x-2y+1=0有公共点,则实数a的取值范围是( )
A.a>0 B.a≥0 C.a≤0 D.a<0
解析:C [圆x+y+2x-2y+1=0,即(x+1)+(y-1)=1的圆心(-1,1),半径为1,∵直线x+ay+2=0与圆x+y+2x-2y+1=0有公共点,
∴
|-1+a+2|
≤1,∴a≤0,故选C.] 2
1+a2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2.(2019·兰州市模拟)已知圆C:(x-1)+(y-4)=10和点M(5,t),若圆C上存在两点A,B,使得MA⊥MB,则实数t的取值范围为( )
A.[-2,6] C.[2,6]
B.[-3,5] D.[3,5]
2
2
解析:C [由题意,|CM|≤10×2,∴(5-1)+(t-4)≤20,∴2≤t≤6,故选C.] 3.(2019·开封市模拟)直线ax-y+3=0与圆(x-1)+(y-2)=4相交于A、B两点且|AB|=22,则a=( )
A.1 B3 C.2 D.3 解析:A [圆的圆心为(1,2),半径为2, ∵|AB|=22,
∴圆心到直线AB的距离d=4-2=2,即
|a+1|
2
2
a+1
2
=2,解得a=1.故选:A.]
4.(2018·高考全国卷Ⅲ)直线x+y+2=0分别与x轴,y轴交于A,B两点,点P在圆(x-2)+y=2上,则△ABP面积的取值范围是( )
A.[2,6] C.[2,32]
B.[4,8] D.[22,32 ]
2
2
解析:A [∵直线x+y+2=0分别于x轴,y轴交于A,B两点,∴A(-2,0),B(0,-2),∴|AB|=22,
∵点P在圆(x-2)+y=2上,∴圆心为(2,0),设圆心到直线的距离为d,则d=|2+0+2|1
=22.故点P到直线x+y+2=0的距离d′的范围是[2,32],则S△ABP=
22|AB|d′=2d′∈[2,6].]
5.(2019·福州市模拟)过点P(1,-2)作圆C:(x-1)+y=1的两条切线,切点分别为A,B,则AB所在直线的方程为( )
2
2
2
2
A.y=-C.y=-
3 43 2
2
2
1
B.y=-
21
D.y=-
4
解析:B [圆(x-1)+y=1的圆心为(1,0),半径为1,以|PC|=1-1
2
+-2-0
2
=2为直径的圆的方程为(x-1)+(y+1)=1,
22
1
将两圆的方程相减得AB所在直线的方程为2y+1=0,即y=-. 故选B.]
2
6.(2019·信阳市质检)直线ax+by+c=0与圆C:x-2x+y+4y=0相交于A,B两→→→
点,且|AB|=15,则CA·CB=________.
解析:圆C:x-2x+y+4y=0?(x-1)+(y+2)=5,
2
2
2
2
2
2
如图,过C作CD⊥AB于D, |AB|=2|AD|=2|AC|· sin∠CAD,
∴15=2×5×sin ∠CAD,∴∠CAD=30°, →→
∴∠ACB=120°,则CA·CB=5×5×cos 120° 5=-.
25
答案:-
2
7.点P在圆C1:x+y-8x-4y+11=0上,点Q在圆C2:x+y+4x+2y+1=0上,则|PQ|的最小值是________.
解析:把圆C1、圆C2的方程都化成标准形式,得(x-4)+(y-2)=9,(x+2)+(y+1)=4.圆C1的圆心坐标是(4,2),半径长是3;圆C2的圆心坐标是(-2,-1),半径是2.圆心距d=
4+2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
+2+1
2
=35.所以,|PQ|的最小值是35-5.
答案:35-5
8.已知圆O:x+y=8,点A(2,0),动点M在圆上,则∠OMA的最大值为________. 解析:设|MA|=a,因为|OM|=22,|OA|=2,由余弦定理知cos∠OMA=|OM|+|MA|-|OA|
=
2|OM|·|MA|
2
2
22
2
22
2
+a-2
22
2×22a=?4?1·2·?+a?≥42?a?42
1
4
a·a=
2,当且仅当a2
ππ
=2时等号成立.所以∠OMA≤,即∠OMA的最大值为.
44
π
答案:
4
9.已知点M(3,1),直线ax-y+4=0及圆(x-1)+(y-2)=4. (1)求过点M的圆的切线方程;
(2)若直线ax-y+4=0与圆相切,求a的值;
(3)若直线ax-y+4=0与圆相交于A,B两点,且弦AB的长为23,求a的值. 解:(1)由题意知圆心的坐标为(1,2),半径r=2, 当过点M的直线的斜率不存在时,方程为x=3.
由圆心(1,2)到直线x=3的距离d=3-1=2=r知,此时,直线与圆相切. 当过点M的直线的斜率存在时,
设方程为y-1=k(x-3),即kx-y+1-3k=0. |k-2+1-3k|3
由题意知2=2,解得k=.
4k+-123
∴方程为y-1=(x-3),即3x-4y-5=0.
4故过点M的圆的切线方程为x=3或3x-4y-5=0. (2)由题意有4
=2,解得a=0或a=.
3a2+-12
|a+2|
|a-2+4|
2
2
(3)∵圆心到直线ax-y+4=0的距离为a2+1
,
∴?
3?|a+2|?2?23?2
+=4,解得a=-. ???2
4?a+1??2?
2
2
10.过平面内M点的光线经x轴反射后与圆C:x+(y-2)=2相切于A,B两点. (1)若M点的坐标为(5,1),求反射光线所在直线的方程; 314
(2)若|AB|=,求动点M的轨迹方程.
4
解:(1)由光的反射原理知,反射光线所在直线必过点(5,-1),设反射光线所在直线的斜率为k,则此直线方程可以设为y+1=k(x-5),即kx-y-5k-1=0(*).
又反射光线与圆C:x+(y-2)=2相切, |-2-5k-1|7所以=2,解得k=-1或-,
23k2+1
代入(*)化简整理,得反射光线所在直线的方程为x+y-4=0或7x+23y-12=0. (2)设动点M的坐标为(x,y)(y≥0),则反射光线所在直线必过点M关于x轴的对称点
2
2
Q(x,-y),设动弦AB的中点为P,
314
则|AP|=,故|CP|=
8
2?314?2
2-??=8. ?8?
2
由射影定理|CP|·|CQ|=|AC|,得|CQ|=
228
=82,即x+-y-2
22
=82,即
x2+(y+2)2=128(y≥0).